(1) 関数 $f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3}$ の極小値を求めよ。 (2) 方程式 $ax^3 - x^2 - x + 1 = 0$ の実数解の個数が1個であるとき、定数 $a$ のとりうる値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3}$ の極小値を求めよ。

(2) 方程式 $ax^3 - x^2 - x + 1 = 0$ の実数解の個数が1個であるとき、定数 $a$ のとりうる値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、関数 $f(x)$ を微分して、極値を求める。

$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3} = x^{-1} + x^{-2} - x^{-3}$

$f'(x) = -x^{-2} - 2x^{-3} + 3x^{-4} = -\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3} + \frac{3}{x^4} = \frac{-x^2 - 2x + 3}{x^4}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$-x^2 - 2x + 3 = 0$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

$(x+3)(x-1) = 0$

$x = -3, 1$

$x = -3$ と $x = 1$ の前後で $f'(x)$ の符号が変化するかを調べる。

$f'(x) = \frac{-(x+3)(x-1)}{x^4}$

$x < -3$ のとき、 $f'(x) < 0$

$-3 < x < 1$ のとき、 $f'(x) > 0$

$x > 1$ のとき、 $f'(x) < 0$

したがって、$x = -3$ で極小値をとり、$x = 1$ で極大値をとる。

$f(-3) = \frac{1}{-3} + \frac{1}{(-3)^2} - \frac{1}{(-3)^3} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} = \frac{-9 + 3 + 1}{27} = -\frac{5}{27}$

したがって、極小値は $-\frac{5}{27}$

(2)

$ax^3 - x^2 - x + 1 = 0$

$x^2 + x - 1 = ax^3$

$a = \frac{x^2 + x - 1}{x^3}$ （ただし、$x \ne 0$）

$a = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3} = f(x)$

$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3}$

実数解の個数が1個であるとき、 $y = a$ と $y = f(x)$ のグラフの交点が1つである。

極大値 $f(1) = 1 + 1 - 1 = 1$

極小値 $f(-3) = -\frac{5}{27}$

$x \to \infty$ のとき、$f(x) \to 0$

$x \to -\infty$ のとき、$f(x) \to 0$

$x \to 0^+$ のとき、$f(x) \to \infty$

$x \to 0^-$ のとき、$f(x) \to -\infty$

したがって、$a < -\frac{5}{27}$ または $a \ge 1$ または $a = 0$（$x=1$のとき交点なし）

3. 最終的な答え

(1) 極小値: $-\frac{5}{27}$

(2) $a < -\frac{5}{27}, a \ge 1, a = 0$