不定積分 $\int \sqrt[3]{6x+7} \, dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \sqrt[3]{6x+7} \, dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

置換積分を用いて解きます。

まず、$u = 6x+7$ と置換します。

すると、$du = 6 \, dx$ となり、$dx = \frac{1}{6} \, du$ が得られます。

したがって、積分は次のようになります。

$\int \sqrt[3]{6x+7} \, dx = \int \sqrt[3]{u} \cdot \frac{1}{6} \, du = \frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{3}} \, du$

次に、$u^{\frac{1}{3}}$ の積分を計算します。

$\int u^{\frac{1}{3}} \, du = \frac{u^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + C = \frac{u^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

したがって、元の積分は次のようになります。

$\frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{3}} \, du = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C = \frac{1}{8} u^{\frac{4}{3}} + C$

最後に、$u = 6x+7$ を代入して、$x$ の関数に戻します。

$\frac{1}{8} (6x+7)^{\frac{4}{3}} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{8}(6x+7)^{\frac{4}{3}} + C$