与えられた積分 $\int \frac{1+\cos x}{(1+\sin x)^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{1+\cos x}{(1+\sin x)^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$1 + \cos x = 1 + \cos^2(\frac{x}{2}) - \sin^2(\frac{x}{2}) = 2 \cos^2(\frac{x}{2})$ および $1 + \sin x = 1 + 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) = \sin^2(\frac{x}{2}) + \cos^2(\frac{x}{2}) + 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) = (\sin(\frac{x}{2}) + \cos(\frac{x}{2}))^2$ を用いて被積分関数を変形することを考えます。

しかし、直接的な置き換えではうまくいかないため、別の方法を考えます。

$\frac{1+\cos x}{(1+\sin x)^2} = \frac{1}{(1+\sin x)^2} + \frac{\cos x}{(1+\sin x)^2}$ と分解して積分を考えます。

ここで、$u = 1 + \sin x$ と置くと、$du = \cos x dx$ となり、$\int \frac{\cos x}{(1+\sin x)^2} dx = \int \frac{1}{u^2} du = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{1+\sin x} + C$ と計算できます。

次に、$\frac{1}{(1+\sin x)^2}$ の積分を考えます。

$\int \frac{1}{(1+\sin x)^2}dx = \int \frac{(1-\sin x)^2}{(1-\sin^2 x)^2}dx = \int \frac{(1-\sin x)^2}{\cos^4 x}dx = \int \frac{1-2\sin x+\sin^2 x}{\cos^4 x}dx$

この方法は複雑になるため、別の方法を試みます。

$\frac{1+\cos x}{(1+\sin x)^2}$ を部分分数分解します。

$\frac{1+\cos x}{(1+\sin x)^2} = \frac{A}{1+\sin x} + \frac{B}{(1+\sin x)^2}$ とすると、

$1+\cos x = A(1+\sin x) + B$

$1+\cos x = A + A\sin x + B$

$A = 1, A+B = 1 \implies 1+B=1 \implies B = \cos x$となるため、このようには分解できません。

別の方法として、$\frac{1}{1+\sin x} = \frac{1-\sin x}{1-\sin^2 x} = \frac{1-\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sec^2 x - \sec x \tan x$ であることを利用します。

この方法も複雑になるため、元の式に戻って考えます。

$\frac{d}{dx} (\frac{-\cos x}{1+\sin x}) = \frac{\sin x (1+\sin x) - (-\cos x) \cos x}{(1+\sin x)^2} = \frac{\sin x + \sin^2 x + \cos^2 x}{(1+\sin x)^2} = \frac{1+\sin x}{(1+\sin x)^2} = \frac{1}{1+\sin x}$

これは求めている積分ではないため、別の方法を試します。

$\frac{d}{dx} (\frac{\sin x}{1+\sin x}) = \frac{\cos x(1+\sin x) - \sin x \cos x}{(1+\sin x)^2} = \frac{\cos x + \sin x \cos x - \sin x \cos x}{(1+\sin x)^2} = \frac{\cos x}{(1+\sin x)^2}$

$\frac{1+\cos x}{(1+\sin x)^2} = \frac{1}{(1+\sin x)^2} + \frac{\cos x}{(1+\sin x)^2}$

$\frac{d}{dx} \frac{-\sin x}{1+\sin x} = \frac{-\cos x (1+\sin x) - (-\sin x) \cos x}{(1+\sin x)^2} = \frac{-\cos x - \sin x \cos x + \sin x \cos x}{(1+\sin x)^2} = \frac{-\cos x}{(1+\sin x)^2}$

よって、 $\int \frac{1+\cos x}{(1+\sin x)^2} dx = \int (\frac{1+\sin x - \sin x + \cos x}{(1+\sin x)^2}) dx = \int \frac{1+\sin x}{(1+\sin x)^2}dx + \int \frac{-\sin x +\cos x }{(1+\sin x)^2} dx = \int \frac{1}{1+\sin x}dx - \int \frac{\sin x}{(1+\sin x)^2}dx + \int \frac{\cos x}{(1+\sin x)^2}dx$

$\int \frac{1+\cos x}{(1+\sin x)^2} dx = \int \frac{1}{(1+\sin x)^2}dx + \int \frac{\cos x}{(1+\sin x)^2}dx$

$\frac{1}{1+\sin x} = \frac{1-\sin x}{\cos^2 x} = \sec^2 x - \tan x \sec x$

$\int \frac{1}{1+\sin x}dx = \int \sec^2 x - \tan x \sec x dx = \tan x - \sec x + C$

$\frac{d}{dx} (\frac{-1}{1+\sin x}) = \frac{\cos x}{(1+\sin x)^2}$

$\int \frac{\cos x}{(1+\sin x)^2}dx = \frac{-1}{1+\sin x} + C$

$\int \frac{1}{1+\sin x}dx = \tan x - \sec x + C = \frac{\sin x - 1}{\cos x} + C = \frac{\sin x - 1}{\cos x} \times \frac{\sin x + 1}{\sin x+1} = \frac{\sin^2 x - 1}{\cos x(\sin x+1)} = \frac{-\cos x}{\sin x+1}$

$\frac{1+\cos x}{(1+\sin x)^2} = \frac{(1+\cos x) + \cos x\sin x +\sin x-2\cos x\sin x-1}{(\sin x +1)^2}$

$\int \frac{1+\cos x}{(1+\sin x)^2} dx = \frac{\sin x}{1+\sin x} + C$

$\frac{d}{dx}(\frac{-\cos x}{1+\sin x}) = \frac{\sin x+\sin^2 x + \cos^2 x}{(1+\sin x)^2} = \frac{1+\sin x}{(1+\sin x)^2} = \frac{1}{1+\sin x}$

$\int \frac{1}{1+\sin x} dx = \frac{-\cos x}{1+\sin x} + C$

したがって、$\int \frac{1+\cos x}{(1+\sin x)^2} dx = \frac{-\cos x}{1+\sin x} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{-\cos x}{1+\sin x} + C$