二次方程式 $ax^2 - 16 = 0$ の解が整数となるような自然数 $a$ の値をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

二次方程式 $ax^2 - 16 = 0$ の解が整数となるような自然数 $a$ の値をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次方程式 $ax^2 - 16 = 0$ を $x^2$ について解きます。

$ax^2 = 16$

$x^2 = \frac{16}{a}$

したがって、$x = \pm \sqrt{\frac{16}{a}} = \pm \frac{4}{\sqrt{a}}$ となります。

$x$ が整数であるためには、$\frac{4}{\sqrt{a}}$ が整数でなければなりません。

$\sqrt{a}$ が $4$ の約数である必要があります。

$4$ の約数は $1, 2, 4$ です。

したがって、$\sqrt{a} = 1, 2, 4$ となる $a$ を求めます。

$\sqrt{a} = 1$ のとき、$a = 1^2 = 1$

$\sqrt{a} = 2$ のとき、$a = 2^2 = 4$

$\sqrt{a} = 4$ のとき、$a = 4^2 = 16$

$a$ は自然数なので、$a = 1, 4, 16$ が解の候補です。

それぞれの場合について、$x$ の値を確かめます。

$a = 1$ のとき、$x = \pm \frac{4}{\sqrt{1}} = \pm 4$ (整数)

$a = 4$ のとき、$x = \pm \frac{4}{\sqrt{4}} = \pm \frac{4}{2} = \pm 2$ (整数)

$a = 16$ のとき、$x = \pm \frac{4}{\sqrt{16}} = \pm \frac{4}{4} = \pm 1$ (整数)

したがって、$a = 1, 4, 16$ はすべて条件を満たします。

3. 最終的な答え

$a = 1, 4, 16$