次の2つの不定積分を求めます。 (1) $\int x\sqrt{x^2 + 1} \, dx$ (2) $\int \cos^2 x \sin x \, dx$

1. 問題の内容

次の2つの不定積分を求めます。

(1) $\int x\sqrt{x^2 + 1} \, dx$

(2) $\int \cos^2 x \sin x \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int x\sqrt{x^2 + 1} \, dx$ を解く

置換積分を使用します。$u = x^2 + 1$ とおくと、$du = 2x \, dx$ となります。したがって、$x \, dx = \frac{1}{2} du$ です。積分は次のようになります。

$\int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int u^{1/2} \, du$

$\frac{1}{2} \int u^{1/2} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C = \frac{1}{3} u^{3/2} + C$

$u = x^2 + 1$ を代入すると、次のようになります。

$\frac{1}{3} (x^2 + 1)^{3/2} + C$

(2) $\int \cos^2 x \sin x \, dx$ を解く

置換積分を使用します。$u = \cos x$ とおくと、$du = -\sin x \, dx$ となります。したがって、$\sin x \, dx = -du$ です。積分は次のようになります。

$\int u^2 (-du) = -\int u^2 \, du$

$-\int u^2 \, du = -\frac{u^3}{3} + C$

$u = \cos x$ を代入すると、次のようになります。

$-\frac{\cos^3 x}{3} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int x\sqrt{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{3} (x^2 + 1)^{3/2} + C$

(2) $\int \cos^2 x \sin x \, dx = -\frac{\cos^3 x}{3} + C$