三角関数の値を求める問題、三角関数の値から角度の範囲を求める問題、三角関数の加法定理を用いる問題、倍角の公式を用いる問題、三角関数の合成に関する問題が出題されています。

1. 問題の内容

三角関数の値を求める問題、三角関数の値から角度の範囲を求める問題、三角関数の加法定理を用いる問題、倍角の公式を用いる問題、三角関数の合成に関する問題が出題されています。

2. 解き方の手順

(1) 200°を弧度法で表す。

$200^\circ = 200 \times \frac{\pi}{180} = \frac{10}{9}\pi$

(2) $\cos(-\frac{\pi}{4})$の値を求める。

$\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $0 \le \theta < 2\pi$ において、$\sin \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$を満たす$\theta$の値を求める。

$\sin \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$となる$\theta$は、$\theta = \frac{5}{4}\pi, \frac{7}{4}\pi$

(4) $0 \le \theta < 2\pi$ において、$\sin \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす$\theta$の範囲を求める。

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$となる$\theta$は、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2}{3}\pi$

したがって、$\sin \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$となる$\theta$の範囲は、$0 \le \theta < \frac{\pi}{3}$または$\frac{2}{3}\pi < \theta < 2\pi$

(5) $\tan \alpha = 3, \tan \beta = 2$ のとき、$\tan(\alpha - \beta)$ の値を求める。

加法定理より、

$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} = \frac{3 - 2}{1 + 3 \cdot 2} = \frac{1}{7}$

(6) $\sin \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\cos 2\theta$ の値を求める。

倍角の公式より、

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta = 1 - 2(\frac{1}{4})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{16} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

(7) $3\sin \theta + 3\sqrt{3} \cos \theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ (ただし、$r > 0, 0 \le \alpha < 2\pi$) の形に変形する。

$3\sin \theta + 3\sqrt{3} \cos \theta = r(\sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha) = r\cos \alpha \sin \theta + r\sin \alpha \cos \theta$

$r\cos \alpha = 3$

$r\sin \alpha = 3\sqrt{3}$

$r^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 + 27 = 36$

$r = 6$

$\cos \alpha = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$\sin \alpha = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、$\alpha = \frac{\pi}{3}$

したがって、$3\sin \theta + 3\sqrt{3} \cos \theta = 6\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{10}{9}\pi$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $\frac{5}{4}\pi, \frac{7}{4}\pi$

(4) $0 \le \theta < \frac{\pi}{3}$, $\frac{2}{3}\pi < \theta < 2\pi$

(5) $\frac{1}{7}$

(6) $\frac{7}{8}$

(7) $6\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$