2次方程式 $9x^2 + 6x + k + 3 = 0$ が異なる2つの実数解をもつときの $k$ の値の範囲と、重解をもつときの重解 $x$ を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $9x^2 + 6x + k + 3 = 0$ が異なる2つの実数解をもつときの $k$ の値の範囲と、重解をもつときの重解 $x$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件を考えます。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2つの実数解を持つための必要十分条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac > 0$ が成り立つことです。

この問題の場合、$a = 9$, $b = 6$, $c = k + 3$ なので、判別式 $D$ は、

$D = 6^2 - 4 \cdot 9 \cdot (k + 3) = 36 - 36(k + 3) = 36 - 36k - 108 = -36k - 72$

となります。

異なる2つの実数解を持つためには $D > 0$ なので、

$-36k - 72 > 0$

$-36k > 72$

$k < -2$

次に、2次方程式が重解を持つ条件を考えます。

2次方程式が重解を持つための必要十分条件は、判別式 $D = 0$ が成り立つことです。

$-36k - 72 = 0$

$-36k = 72$

$k = -2$

重解を持つとき、2次方程式は $9x^2 + 6x + (-2) + 3 = 0$ となり、$9x^2 + 6x + 1 = 0$ となります。

これは $(3x + 1)^2 = 0$ と変形できるので、重解は $x = -\frac{1}{3}$ です。

3. 最終的な答え

$k < -2$

重解は $x = -\frac{1}{3}$