$x > 0$, $y > 0$ のとき、$\frac{2y}{3x} + \frac{3x}{2y} + 1$ の最小値を求め、そのときの $y$ を $x$ で表す。

1. 問題の内容

$x > 0$, $y > 0$ のとき、$\frac{2y}{3x} + \frac{3x}{2y} + 1$ の最小値を求め、そのときの $y$ を $x$ で表す。

2. 解き方の手順

相加相乗平均の不等式を利用します。$x > 0$、$y > 0$ より、$\frac{2y}{3x} > 0$、$\frac{3x}{2y} > 0$ です。

相加相乗平均の不等式より、

$$\frac{2y}{3x} + \frac{3x}{2y} \geq 2\sqrt{\frac{2y}{3x} \cdot \frac{3x}{2y}} = 2\sqrt{1} = 2$$

よって、

$$\frac{2y}{3x} + \frac{3x}{2y} + 1 \geq 2 + 1 = 3$$

等号成立は $\frac{2y}{3x} = \frac{3x}{2y}$ のとき。すなわち、

$$4y^2 = 9x^2$$

$$y^2 = \frac{9}{4}x^2$$

$y > 0$ より、

$$y = \frac{3}{2}x$$

したがって、$y = \frac{3}{2}x$ のとき、$\frac{2y}{3x} + \frac{3x}{2y} + 1$ は最小値 $3$ をとる。

3. 最終的な答え

ア：3

イ：2

ウ：3