ある放物線を$x$軸方向に1、$y$軸方向に-2だけ平行移動したところ、$y = -2x^2 + 3x - 1$になった。元の放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

ある放物線を$x$軸方向に1、$y$軸方向に-2だけ平行移動したところ、$y = -2x^2 + 3x - 1$になった。元の放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

平行移動の逆変換を考えます。放物線$y = f(x)$を$x$軸方向に$a$, $y$軸方向に$b$だけ平行移動した放物線の方程式は$y - b = f(x - a)$となります。

今回の問題では、$x$軸方向に1、$y$軸方向に-2だけ平行移動した結果が$y = -2x^2 + 3x - 1$なので、元の放物線の方程式は

$y - (-2) = -2(x - 1)^2 + 3(x - 1) - 1$

となります。これを整理します。

$y + 2 = -2(x^2 - 2x + 1) + 3x - 3 - 1$

$y + 2 = -2x^2 + 4x - 2 + 3x - 4$

$y = -2x^2 + 7x - 6 - 2$

$y = -2x^2 + 7x - 8$

3. 最終的な答え

$y = -2x^2 + 7x - 8$