与えられた5つの多項式の積を展開したとき、指定された次数の項の係数を求める問題です。今回は、(1), (3), (5)について解答します。 (1) $(x^2 + 5x - 2)(x^2 - 3x - 1)$ の $x^3$ の係数 (3) $(x^2 + 5x + 1)(2x^2 - 4x + 1)$ の $x^3$ の係数 (5) $(3 - 5x^2 - 3x^3)(1 + x - x^3)$ の $x^3$ の係数

1. 問題の内容

与えられた5つの多項式の積を展開したとき、指定された次数の項の係数を求める問題です。今回は、(1), (3), (5)について解答します。

(1) $(x^2 + 5x - 2)(x^2 - 3x - 1)$ の $x^3$ の係数

(3) $(x^2 + 5x + 1)(2x^2 - 4x + 1)$ の $x^3$ の係数

(5) $(3 - 5x^2 - 3x^3)(1 + x - x^3)$ の $x^3$ の係数

2. 解き方の手順

多項式の積を展開し、指定された次数の項のみを抽出します。

(1) $(x^2 + 5x - 2)(x^2 - 3x - 1)$ において、$x^3$ の項となる組み合わせは次の通りです。

$x^2 * (-3x) = -3x^3$

$5x * x^2 = 5x^3$

したがって、$x^3$ の係数は $-3 + 5 = 2$ です。

(3) $(x^2 + 5x + 1)(2x^2 - 4x + 1)$ において、$x^3$ の項となる組み合わせは次の通りです。

$x^2 * (-4x) = -4x^3$

$5x * 2x^2 = 10x^3$

したがって、$x^3$ の係数は $-4 + 10 = 6$ です。

(5) $(3 - 5x^2 - 3x^3)(1 + x - x^3)$ において、$x^3$ の項となる組み合わせは次の通りです。

$3 * 0 = 0$

$-5x^2 * x = -5x^3$

$-3x^3 * 1 = -3x^3$

したがって、$x^3$ の係数は $-5 - 3 = -8$ です。

3. 最終的な答え

(1) の $x^3$ の係数：2

(3) の $x^3$ の係数：6

(5) の $x^3$ の係数：-8