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与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、以下の式で表される和を計算します。 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}$

解析学数列和有理化telescoping sum
2025/8/10

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、以下の式で表される和を計算します。
∑k=1n1k+1+k\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}

2. 解き方の手順

まず、数列の一般項1k+1+k\frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}を有理化します。分母と分子にk+1−k\sqrt{k+1} - \sqrt{k}を掛けます。
1k+1+k=k+1−k(k+1+k)(k+1−k)\frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{(\sqrt{k+1} + \sqrt{k})(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})}
分母を展開すると、
(k+1+k)(k+1−k)=(k+1)−k=1(\sqrt{k+1} + \sqrt{k})(\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) = (k+1) - k = 1
したがって、一般項は
1k+1+k=k+1−k\frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}
となります。
次に、この結果を用いて、数列の和を計算します。
∑k=1n1k+1+k=∑k=1n(k+1−k)\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k})
この和は、隣り合う項が打ち消し合う「telescoping sum（望遠鏡和）」の形をしています。具体的に書き下すと、
(2−1)+(3−2)+(4−3)+⋯+(n+1−n)(\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \cdots + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})
となります。隣り合う項が打ち消し合うので、最終的に残るのは −1-\sqrt{1} と n+1\sqrt{n+1} だけです。
∑k=1n(k+1−k)=n+1−1=n+1−1\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) = \sqrt{n+1} - \sqrt{1} = \sqrt{n+1} - 1

3. 最終的な答え

n+1−1\sqrt{n+1} - 1

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