一辺の長さが5の正四面体ABCDにおいて、辺BCを2:3に内分する点をPとする。 (1) APの長さを求める。 (2) $\angle APD = \theta$とするとき、$\cos \theta$の値を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが5の正四面体ABCDにおいて、辺BCを2:3に内分する点をPとする。

(1) APの長さを求める。

(2) $\angle APD = \theta$とするとき、$\cos \theta$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) APの長さを求める。

$\triangle ABP$において余弦定理を用いる。

$BP = \frac{2}{5} BC = \frac{2}{5} \times 5 = 2$

$AB = 5$

$\angle ABP = 60^{\circ}$

$AP^2 = AB^2 + BP^2 - 2AB \cdot BP \cdot \cos \angle ABP$

$AP^2 = 5^2 + 2^2 - 2 \times 5 \times 2 \times \cos 60^{\circ}$

$AP^2 = 25 + 4 - 20 \times \frac{1}{2}$

$AP^2 = 29 - 10$

$AP^2 = 19$

$AP = \sqrt{19}$

(2) $\cos \theta$の値を求める。

同様に$CP = \frac{3}{5}BC = \frac{3}{5} \times 5 = 3$

$\triangle DPC$において余弦定理を用いると、$DP = \sqrt{19}$

$\triangle APD$において余弦定理を用いる。

$AD^2 = AP^2 + DP^2 - 2AP \cdot DP \cdot \cos \theta$

$5^2 = (\sqrt{19})^2 + (\sqrt{19})^2 - 2 \times \sqrt{19} \times \sqrt{19} \times \cos \theta$

$25 = 19 + 19 - 2 \times 19 \times \cos \theta$

$25 = 38 - 38 \cos \theta$

$38 \cos \theta = 38 - 25$

$38 \cos \theta = 13$

$\cos \theta = \frac{13}{38}$

3. 最終的な答え

(1) $AP = \sqrt{19}$ (選択肢③)

(2) $\cos \theta = \frac{13}{38}$ (選択肢④)