点 $(-2, 5)$ との距離が $\sqrt{10}$ であり、傾きが $3$ である直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

点 $(-2, 5)$ との距離が $\sqrt{10}$ であり、傾きが $3$ である直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

傾きが $3$ である直線の方程式は $y = 3x + b$ と表せる。

この式を変形すると $3x - y + b = 0$ となる。

点 $(-2, 5)$ と直線 $3x - y + b = 0$ の距離が $\sqrt{10}$ であるから、点と直線の距離の公式を用いて $b$ を求める。

点と直線の距離の公式は、点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ が

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

で表される。

この問題では $(x_0, y_0) = (-2, 5)$、$a = 3$、$b = -1$、$c = b$、$d = \sqrt{10}$ であるから、

$\sqrt{10} = \frac{|3(-2) - 5 + b|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}}$

$\sqrt{10} = \frac{|-6 - 5 + b|}{\sqrt{9 + 1}}$

$\sqrt{10} = \frac{|-11 + b|}{\sqrt{10}}$

両辺に $\sqrt{10}$ をかけると

$10 = |-11 + b|$

したがって、

$-11 + b = 10$ または $-11 + b = -10$

$b = 21$ または $b = 1$

よって、求める直線の方程式は

$y = 3x + 21$ または $y = 3x + 1$

$3x - y + 21 = 0$ または $3x - y + 1 = 0$

3. 最終的な答え

$3x - y + 21 = 0$ または $3x - y + 1 = 0$