3点O(0, 0), A(4, 3), B(1, -3)を頂点とする三角形OABについて、 (1) 点Oと直線ABとの距離を求めよ。 (2) 三角形OABの面積を求めよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

3点O(0, 0), A(4, 3), B(1, -3)を頂点とする三角形OABについて、

(1) 点Oと直線ABとの距離を求めよ。

(2) 三角形OABの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Oと直線ABとの距離を求める。

まず、直線ABの方程式を求める。

直線ABの傾きは、

$\frac{-3 - 3}{1 - 4} = \frac{-6}{-3} = 2$

よって、直線ABの方程式は、

$y - 3 = 2(x - 4)$

$y - 3 = 2x - 8$

$y = 2x - 5$

整理すると、

$2x - y - 5 = 0$

点(0, 0)と直線$2x - y - 5 = 0$との距離は、

$\frac{|2 \cdot 0 - 0 - 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$

(2) 三角形OABの面積を求める。

三角形OABの面積は、底辺をABとすると、高さは点Oと直線ABとの距離になる。

ABの長さは、

$\sqrt{(4 - 1)^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

三角形OABの面積は、

$\frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = \frac{15}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 点Oと直線ABとの距離は $\sqrt{5}$

(2) 三角形OABの面積は $\frac{15}{2}$