平行四辺形ABCDにおいて、対角線の交点をO、辺BCの中点をM、線分AMと線分BDの交点をPとする。このとき、平行四辺形ABCDの面積は三角形APOの面積の何倍かを求める。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、対角線の交点をO、辺BCの中点をM、線分AMと線分BDの交点をPとする。このとき、平行四辺形ABCDの面積は三角形APOの面積の何倍かを求める。

2. 解き方の手順

まず、平行四辺形ABCDの面積をSとする。平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるため、$AO = OC$、 $BO = OD$が成り立つ。また、MはBCの中点なので、$BM = MC$となる。

平行四辺形の面積は、2つの三角形ABCとACDの面積の和に等しく、それぞれ$S/2$である。

三角形ABCにおいて、AMは中線なので、三角形ABMと三角形ACMの面積は等しく、$S/4$となる。

次に、三角形ABMと三角形MCDにおいて、平行線の錯角が等しいことから、$AP:PM$を求める。

三角形ABPと三角形MDPは相似である。$AB = CD$, $BM = MC$なので、$AB:MC = 2:1$となる。

したがって、$AP:PM = AB:MC = 2:1$である。

三角形ABMの面積は$S/4$であるから、三角形ABPの面積は$(2/3) \times (S/4) = S/6$となる。

また、三角形ABDの面積は平行四辺形ABCDの半分の面積なので、$S/2$である。

三角形ABOの面積は、三角形ABDの面積の半分なので、$S/4$である。

したがって、$AP:AO$を求める。

三角形ABPの面積と三角形ABOの面積の比を考える。

三角形ABPの面積は$S/6$であり、三角形ABOの面積は$S/4$である。

これらの三角形は共通の底辺ABを持つので、高さの比は面積の比に等しい。つまり、$AP:AO = (S/6):(S/4) = 2:3$となる。

三角形APOの面積は、三角形ABOの面積の$AP/AB$倍である。

三角形ABOの面積は$S/4$であり、$AP/AO = 2/3$なので、三角形APOの面積は$(2/3) \times (S/4) = S/6$となる。

これは、三角形ABPの面積に等しい。

よって、平行四辺形ABCDの面積Sは、三角形APOの面積$(S/6) \times 12 = 12$である。

3. 最終的な答え

12倍