複素数平面上で、点 $P(1-\sqrt{3}i)$ を中心とする円に内接する正三角形がある。正三角形の頂点の1つが点 $A(2)$ であるとき、残りの2つの頂点を表す複素数を求める。

1. 問題の内容

複素数平面上で、点 $P(1-\sqrt{3}i)$ を中心とする円に内接する正三角形がある。正三角形の頂点の1つが点 $A(2)$ であるとき、残りの2つの頂点を表す複素数を求める。

2. 解き方の手順

中心 $P = 1 - \sqrt{3}i$ を原点に移すため、全ての点を $P$ だけ平行移動する。つまり、 $A' = A - P = 2 - (1-\sqrt{3}i) = 1+\sqrt{3}i$ とする。

$A'$ を中心の周りに $\pm \frac{2\pi}{3}$ 回転させた点を $B'$, $C'$ とする。回転を表す複素数は $e^{\pm i\frac{2\pi}{3}} = \cos(\pm\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\pm\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

$B' = A' e^{i\frac{2\pi}{3}} = (1+\sqrt{3}i)(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} + i(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = -2$

$C' = A' e^{-i\frac{2\pi}{3}} = (1+\sqrt{3}i)(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} + i(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = -2$

上記は計算が誤っていた。

$B' = (1+\sqrt{3}i)(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i) = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} + i(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = -2$.

$C' = (1+\sqrt{3}i)(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i) = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + i(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 - \sqrt{3}i$.

点 $B'$, $C'$ を $P$ だけ逆向きに平行移動して、元の座標に戻す。

$B = B' + P = -2 + 1 - \sqrt{3}i = -1 - \sqrt{3}i$.

$C = C' + P = 1 - \sqrt{3}i + 1 - \sqrt{3}i = 2 - 2\sqrt{3}i$.

正三角形の中心を$p=1-\sqrt{3}i$、一つの頂点を$a=2$とすると、他の2つの頂点$b, c$は、

$b = p + (a-p)\omega$, $c = p + (a-p)\omega^2$

ただし、$\omega = e^{i2\pi/3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$a-p = 2-(1-\sqrt{3}i) = 1 + \sqrt{3}i$

$b = (1-\sqrt{3}i) + (1+\sqrt{3}i)(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 1-\sqrt{3}i + (-\frac{1}{2}-\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 1-\sqrt{3}i - 2 = -1-\sqrt{3}i$

$\omega^2 = \overline{\omega} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$c = (1-\sqrt{3}i) + (1+\sqrt{3}i)(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 1-\sqrt{3}i + (-\frac{1}{2}+\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 1-\sqrt{3}i + 1 - \sqrt{3}i = 2-2\sqrt{3}i$

3. 最終的な答え

$-1-\sqrt{3}i$, $2-2\sqrt{3}i$