複素数平面上の原点Oと異なる点A, Bを表す複素数をそれぞれ$\alpha$, $\beta$とする。 (1) $\alpha^2 + \beta^2 = 0$ (2) $4\alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 = 0$ が成り立つとき、$\triangle OAB$はどのような三角形か。

1. 問題の内容

複素数平面上の原点Oと異なる点A, Bを表す複素数をそれぞれ$\alpha$, $\beta$とする。

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = 0$

(2) $4\alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 = 0$

が成り立つとき、$\triangle OAB$はどのような三角形か。

2. 解き方の手順

(1)

$\alpha^2 + \beta^2 = 0$より、$\alpha^2 = -\beta^2$。よって$\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^2 = -1$。

$\frac{\alpha}{\beta} = \pm i$。

$\frac{\alpha}{\beta} = i$の場合、$\left|\frac{\alpha}{\beta}\right| = 1$なので $|\alpha| = |\beta|$。

また、$\arg\left(\frac{\alpha}{\beta}\right) = \frac{\pi}{2}$なので、$\arg(\alpha) - \arg(\beta) = \frac{\pi}{2}$。

したがって、$OA = OB$で$\angle AOB = \frac{\pi}{2}$の直角二等辺三角形。

$\frac{\alpha}{\beta} = -i$の場合、$\left|\frac{\alpha}{\beta}\right| = 1$なので $|\alpha| = |\beta|$。

また、$\arg\left(\frac{\alpha}{\beta}\right) = -\frac{\pi}{2}$なので、$\arg(\alpha) - \arg(\beta) = -\frac{\pi}{2}$。

したがって、$OA = OB$で$\angle AOB = \frac{3\pi}{2}$となることはない。 $\angle AOB = \frac{\pi}{2}$の直角二等辺三角形。

(2)

$4\alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 = 0$より、$\beta^2 - 2\alpha\beta + 4\alpha^2 = 0$。

両辺を$\alpha^2$で割ると、$\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^2 - 2\left(\frac{\beta}{\alpha}\right) + 4 = 0$。

$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = 1 \pm \sqrt{3}i$

$\frac{\beta}{\alpha} = 1 + \sqrt{3}i$のとき、$\left|\frac{\beta}{\alpha}\right| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$。

$\arg\left(\frac{\beta}{\alpha}\right) = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}$。

したがって、$OB = 2OA$で$\angle AOB = \frac{\pi}{3}$の三角形。

$\frac{\beta}{\alpha} = 1 - \sqrt{3}i$のとき、$\left|\frac{\beta}{\alpha}\right| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$。

$\arg\left(\frac{\beta}{\alpha}\right) = \arctan\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = -\frac{\pi}{3}$。

したがって、$OB = 2OA$で$\angle AOB = \frac{\pi}{3}$の三角形。

3. 最終的な答え

(1) 直角二等辺三角形

(2) $OB = 2OA$で$\angle AOB = \frac{\pi}{3}$の三角形