与えられた数列の和に関する問題を解く。具体的には、(1) 数列 $1\cdot2 + 2\cdot3 + 3\cdot4 + \dots + n(n+1)$ の和を求める。(2) 恒等式 $\frac{3}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1}$ を利用して、数列 $S = \frac{3}{1\cdot4} + \frac{3}{4\cdot7} + \frac{3}{7\cdot10} + \dots + \frac{3}{(3n-2)(3n+1)}$ の和を求める。(3) 初項から第$n$項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 3n$ で表される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

与えられた数列の和に関する問題を解く。具体的には、(1) 数列 $1\cdot2 + 2\cdot3 + 3\cdot4 + \dots + n(n+1)$ の和を求める。(2) 恒等式 $\frac{3}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1}$ を利用して、数列 $S = \frac{3}{1\cdot4} + \frac{3}{4\cdot7} + \frac{3}{7\cdot10} + \dots + \frac{3}{(3n-2)(3n+1)}$ の和を求める。(3) 初項から第$n$項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 3n$ で表される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた和は $\sum_{k=1}^{n} k(k+1)$ で表される。

まず、$\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$ と変形する。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$、$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2}n(n+1)$ であるから、

$\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + \frac{1}{2}n(n+1) = \frac{1}{6}n(n+1)[(2n+1)+3] = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+4) = \frac{1}{6}n(n+1)2(n+2) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$

(2)

$\frac{3}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1}$ を利用する。

$S = (\frac{1}{1} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{10}) + \dots + (\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1}) = 1 - \frac{1}{3n+1} = \frac{3n+1-1}{3n+1} = \frac{3n}{3n+1}$

(3)

$a_1 = S_1 = 1^2 + 3\cdot1 = 4$

$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1} = n^2 + 3n - ((n-1)^2 + 3(n-1)) = n^2 + 3n - (n^2 - 2n + 1 + 3n - 3) = n^2 + 3n - (n^2 + n - 2) = 2n + 2$

$a_1 = 4$ であるから、$a_n = 2n + 2$ は $n=1$ のときにも成り立つ。

よって、一般項は $a_n = 2n + 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$

(2) $\frac{3n}{3n+1}$

(3) $a_n = 2n + 2$