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問題は、以下の恒等式を利用して、与えられた和 $S$ を求める問題です。 恒等式: $\frac{3}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2}$ 和: $S = \frac{3}{2 \cdot 5} + \frac{3}{5 \cdot 8} + \frac{3}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{3}{(3n-1)(3n+2)}$

代数学部分分数分解数列級数恒等式
2025/8/13

1. 問題の内容

問題は、以下の恒等式を利用して、与えられた和 SS を求める問題です。
恒等式: 3(3k−1)(3k+2)=13k−1−13k+2\frac{3}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2}
和: S=32⋅5+35⋅8+38⋅11+⋯+3(3n−1)(3n+2)S = \frac{3}{2 \cdot 5} + \frac{3}{5 \cdot 8} + \frac{3}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{3}{(3n-1)(3n+2)}

2. 解き方の手順

まず、与えられた和 SS の各項に恒等式を適用します。
32⋅5=3(3⋅1−1)(3⋅1+2)=13⋅1−1−13⋅1+2=12−15\frac{3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{(3 \cdot 1 - 1)(3 \cdot 1 + 2)} = \frac{1}{3 \cdot 1 - 1} - \frac{1}{3 \cdot 1 + 2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{5}
35⋅8=3(3⋅2−1)(3⋅2+2)=13⋅2−1−13⋅2+2=15−18\frac{3}{5 \cdot 8} = \frac{3}{(3 \cdot 2 - 1)(3 \cdot 2 + 2)} = \frac{1}{3 \cdot 2 - 1} - \frac{1}{3 \cdot 2 + 2} = \frac{1}{5} - \frac{1}{8}
38⋅11=3(3⋅3−1)(3⋅3+2)=13⋅3−1−13⋅3+2=18−111\frac{3}{8 \cdot 11} = \frac{3}{(3 \cdot 3 - 1)(3 \cdot 3 + 2)} = \frac{1}{3 \cdot 3 - 1} - \frac{1}{3 \cdot 3 + 2} = \frac{1}{8} - \frac{1}{11}
...
3(3n−1)(3n+2)=13n−1−13n+2\frac{3}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2}
これらの項をすべて足し合わせると、多くの項が打ち消しあい、最終的には最初の項と最後の項だけが残ります。
S=(12−15)+(15−18)+(18−111)+⋯+(13n−1−13n+2)S = (\frac{1}{2} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{11}) + \dots + (\frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2})
S=12−13n+2S = \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2}
S=(3n+2)−22(3n+2)S = \frac{(3n+2) - 2}{2(3n+2)}
S=3n2(3n+2)S = \frac{3n}{2(3n+2)}
S=3n6n+4S = \frac{3n}{6n+4}

3. 最終的な答え

S=3n6n+4=3n2(3n+2)S = \frac{3n}{6n+4} = \frac{3n}{2(3n+2)}