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与えられた二次関数 $f(x)=x^2 + 2(a-2)x + 4 - 2a^2$ について、以下の問いに答える。 (1) $y=f(x)$ のグラフの頂点の $x$ 座標を $a$ で表し、$a$ の値を変化させたときの頂点の $y$ 座標の最大値とそのときの $a$ の値を求める。 (2) 二次方程式 $f(x) = 0$ が $1$ より大きい $2$ つの異なる解を持つような $a$ の範囲を求める。 (3) $y=f(x)$ のグラフが $x$ 軸から切り取る線分の長さが $4$ のときの $a$ の値を求める。

代数学二次関数二次方程式平方完成判別式解と係数の関係
2025/8/13

1. 問題の内容

与えられた二次関数 f(x)=x2+2(a−2)x+4−2a2f(x)=x^2 + 2(a-2)x + 4 - 2a^2 について、以下の問いに答える。
(1) y=f(x)y=f(x) のグラフの頂点の xx 座標を aa で表し、aa の値を変化させたときの頂点の yy 座標の最大値とそのときの aa の値を求める。
(2) 二次方程式 f(x)=0f(x) = 0 が 11 より大きい 22 つの異なる解を持つような aa の範囲を求める。
(3) y=f(x)y=f(x) のグラフが xx 軸から切り取る線分の長さが 44 のときの aa の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)
まず、f(x)f(x) を平方完成する。
f(x)=x2+2(a−2)x+4−2a2=(x+(a−2))2−(a−2)2+4−2a2=(x+(a−2))2−(a2−4a+4)+4−2a2=(x+(a−2))2−3a2+4af(x) = x^2 + 2(a-2)x + 4 - 2a^2 = (x + (a-2))^2 - (a-2)^2 + 4 - 2a^2 = (x + (a-2))^2 - (a^2 - 4a + 4) + 4 - 2a^2 = (x + (a-2))^2 - 3a^2 + 4a
したがって、頂点の xx 座標は x=−(a−2)=−a+2x = -(a-2) = -a + 2 である。よって、1の答えは −a+2-a+2。
頂点の yy 座標は y=−3a2+4ay = -3a^2 + 4a である。
y=−3(a2−43a)=−3(a−23)2+3(49)=−3(a−23)2+43y = -3(a^2 - \frac{4}{3}a) = -3(a - \frac{2}{3})^2 + 3(\frac{4}{9}) = -3(a - \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3}
yy は a=23a = \frac{2}{3} のとき最大値 43\frac{4}{3} をとる。よって、2の答えは 23\frac{2}{3} で、3の答えは 43\frac{4}{3}。
(2)
f(x)=0f(x) = 0 が 11 より大きい 22 つの異なる解を持つ条件は、
i) 判別式 D>0D > 0
ii) 軸の位置 −a+2>1-a + 2 > 1
iii) f(1)>0f(1) > 0
まず、判別式 DD について、D/4=(a−2)2−(4−2a2)=a2−4a+4−4+2a2=3a2−4a>0D/4 = (a-2)^2 - (4 - 2a^2) = a^2 - 4a + 4 - 4 + 2a^2 = 3a^2 - 4a > 0
a(3a−4)>0a(3a - 4) > 0 より a<0a < 0 または a>43a > \frac{4}{3}
次に、軸の位置について、−a+2>1-a + 2 > 1 より −a>−1-a > -1 なので a<1a < 1
最後に、f(1)=1+2(a−2)+4−2a2=1+2a−4+4−2a2=−2a2+2a+1>0f(1) = 1 + 2(a-2) + 4 - 2a^2 = 1 + 2a - 4 + 4 - 2a^2 = -2a^2 + 2a + 1 > 0
2a2−2a−1<02a^2 - 2a - 1 < 0
解の公式より a=2±4+84=2±124=1±32a = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}
したがって、1−32<a<1+32\frac{1 - \sqrt{3}}{2} < a < \frac{1 + \sqrt{3}}{2}
a<0a < 0 または a>43a > \frac{4}{3}, a<1a < 1, 1−32<a<1+32\frac{1 - \sqrt{3}}{2} < a < \frac{1 + \sqrt{3}}{2} を全て満たす aa の範囲は、
1−32<a<0\frac{1 - \sqrt{3}}{2} < a < 0
よって、4の答えは 1−32<a<0\frac{1 - \sqrt{3}}{2} < a < 0。
(3)
f(x)=0f(x) = 0 の 22 つの解を α,β\alpha, \beta とすると、 ∣α−β∣=4|\alpha - \beta| = 4
(α−β)2=(α+β)2−4αβ=42=16(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 4^2 = 16
解と係数の関係より、α+β=−2(a−2)\alpha + \beta = -2(a-2)、αβ=4−2a2\alpha\beta = 4 - 2a^2
(−2(a−2))2−4(4−2a2)=16(-2(a-2))^2 - 4(4 - 2a^2) = 16
4(a2−4a+4)−16+8a2=164(a^2 - 4a + 4) - 16 + 8a^2 = 16
4a2−16a+16−16+8a2=164a^2 - 16a + 16 - 16 + 8a^2 = 16
12a2−16a−16=012a^2 - 16a - 16 = 0
3a2−4a−4=03a^2 - 4a - 4 = 0
(3a+2)(a−2)=0(3a + 2)(a - 2) = 0
a=2a = 2 または a=−23a = -\frac{2}{3}
5の答えは 2,−232, -\frac{2}{3}

3. 最終的な答え

1: −a+2-a+2
2: 23\frac{2}{3}
3: 43\frac{4}{3}
4: 1−32<a<0\frac{1 - \sqrt{3}}{2} < a < 0
5: 2,−232, -\frac{2}{3}