(1) 数列 $\{a_n\}$ の階差数列 $\{b_n\}$ が与えられたとき、$\{b_n\}$ の一般項と、$\{a_n\}$ の第6項を求める。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

(1) 数列 $\{a_n\}$ の階差数列 $\{b_n\}$ が与えられたとき、$\{b_n\}$ の一般項と、$\{a_n\}$ の第6項を求める。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

(1)

数列 $\{a_n\}$ が 11, 9, 5, -1, -9, ... のとき、階差数列 $\{b_n\}$ は -2, -4, -6, -8, ... となる。

$\{b_n\}$ は初項 -2, 公差 -2 の等差数列であるから、一般項は

$b_n = -2 + (n-1)(-2) = -2 - 2n + 2 = -2n$

よって、$b_n = -2n$ となる。

$a_6 = a_5 + b_5 = -9 + (-2 \times 5) = -9 - 10 = -19$

(2)

数列 $\{a_n\}$ が 12, 13, 15, 18, 22, 27, ... のとき、階差数列 $\{b_n\}$ は 1, 2, 3, 4, 5, ... となる。

$\{b_n\}$ の一般項は $b_n = n$ である。

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 12 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 12 + \frac{1}{2}(n-1)n = 12 + \frac{1}{2}n(n-1)$

$a_n = 12 + \frac{1}{2}(n^2 - n) = \frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n + 12$

$a_n = \frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n + 12$

$a_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 12 = 12$ であるから、$n = 1$ のときも成り立つ。

3. 最終的な答え

(1)

$b_n = -2n$

$a_6 = -19$

(2)

$a_n = \frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n + 12$