(1) 3点$(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, 6)$ を通る2次関数を求める問題。 (2) 3点$(3, 0)$, $(0, -9)$, $(-2, 5)$ を通る2次関数を求める問題。

1. 問題の内容

(1) 3点$(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, 6)$ を通る2次関数を求める問題。

(2) 3点$(3, 0)$, $(0, -9)$, $(-2, 5)$ を通る2次関数を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

与えられた3点の座標をそれぞれ代入すると、以下の3つの式が得られる。

$a(1)^2 + b(1) + c = 0$

$a(0)^2 + b(0) + c = 1$

$a(-1)^2 + b(-1) + c = 6$

整理すると、以下の連立方程式となる。

$a + b + c = 0$ (式1)

$c = 1$ (式2)

$a - b + c = 6$ (式3)

式2より、$c = 1$ である。

式1に $c = 1$ を代入すると、$a + b + 1 = 0$, すなわち $a + b = -1$ (式4)となる。

式3に $c = 1$ を代入すると、$a - b + 1 = 6$, すなわち $a - b = 5$ (式5)となる。

式4と式5の連立方程式を解く。

式4 + 式5 より、 $2a = 4$, よって $a = 2$。

式4に $a = 2$ を代入すると、$2 + b = -1$, よって $b = -3$。

したがって、$a = 2$, $b = -3$, $c = 1$。

求める2次関数は $y = 2x^2 - 3x + 1$ である。

(2) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

与えられた3点の座標をそれぞれ代入すると、以下の3つの式が得られる。

$a(3)^2 + b(3) + c = 0$

$a(0)^2 + b(0) + c = -9$

$a(-2)^2 + b(-2) + c = 5$

整理すると、以下の連立方程式となる。

$9a + 3b + c = 0$ (式6)

$c = -9$ (式7)

$4a - 2b + c = 5$ (式8)

式7より、$c = -9$ である。

式6に $c = -9$ を代入すると、$9a + 3b - 9 = 0$, すなわち $3a + b = 3$ (式9)となる。

式8に $c = -9$ を代入すると、$4a - 2b - 9 = 5$, すなわち $4a - 2b = 14$, よって $2a - b = 7$ (式10)となる。

式9と式10の連立方程式を解く。

式9 + 式10 より、$5a = 10$, よって $a = 2$。

式9に $a = 2$ を代入すると、$3(2) + b = 3$, すなわち $6 + b = 3$, よって $b = -3$。

したがって、$a = 2$, $b = -3$, $c = -9$。

求める2次関数は $y = 2x^2 - 3x - 9$ である。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 - 3x + 1$

(2) $y = 2x^2 - 3x - 9$