問題41は、数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられたときに、その数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。 問題41(1)は $S_n = n^2 + 4n$、問題41(2)は $S_n = 3n^2 - n$ です。 問題43は、数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられたときに、その数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。$S_n = n(5n+2)$ です。

1. 問題の内容

問題41は、数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられたときに、その数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

問題41(1)は $S_n = n^2 + 4n$、問題41(2)は $S_n = 3n^2 - n$ です。

問題43は、数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられたときに、その数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。$S_n = n(5n+2)$ です。

2. 解き方の手順

問題41(1):

$S_n = n^2 + 4n$

$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ を用いて一般項を求めます。

$S_{n-1} = (n-1)^2 + 4(n-1) = n^2 - 2n + 1 + 4n - 4 = n^2 + 2n - 3$

$a_n = (n^2 + 4n) - (n^2 + 2n - 3) = 2n + 3$

$n = 1$ のとき、$a_1 = S_1 = 1^2 + 4(1) = 5$

$a_n = 2n + 3$ に $n = 1$ を代入すると、$2(1) + 3 = 5$ となり、$a_1$ と一致します。

したがって、すべての $n$ に対して $a_n = 2n + 3$ が成り立ちます。

問題41(2):

$S_n = 3n^2 - n$

$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ を用いて一般項を求めます。

$S_{n-1} = 3(n-1)^2 - (n-1) = 3(n^2 - 2n + 1) - n + 1 = 3n^2 - 6n + 3 - n + 1 = 3n^2 - 7n + 4$

$a_n = (3n^2 - n) - (3n^2 - 7n + 4) = 6n - 4$

$n = 1$ のとき、$a_1 = S_1 = 3(1)^2 - 1 = 2$

$a_n = 6n - 4$ に $n = 1$ を代入すると、$6(1) - 4 = 2$ となり、$a_1$ と一致します。

したがって、すべての $n$ に対して $a_n = 6n - 4$ が成り立ちます。

問題43:

$S_n = n(5n + 2) = 5n^2 + 2n$

$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ を用いて一般項を求めます。

$S_{n-1} = (n-1)(5(n-1) + 2) = (n-1)(5n - 5 + 2) = (n-1)(5n - 3) = 5n^2 - 3n - 5n + 3 = 5n^2 - 8n + 3$

$a_n = (5n^2 + 2n) - (5n^2 - 8n + 3) = 10n - 3$

$n = 1$ のとき、$a_1 = S_1 = 1(5(1) + 2) = 7$

$a_n = 10n - 3$ に $n = 1$ を代入すると、$10(1) - 3 = 7$ となり、$a_1$ と一致します。

したがって、すべての $n$ に対して $a_n = 10n - 3$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

問題41(1): $a_n = 2n + 3$

問題41(2): $a_n = 6n - 4$

問題43: $a_n = 10n - 3$