二つの不等式 $|x-7|<2$ (1) と $|x-3|<k$ (2) が与えられている。ただし、$k$ は正の定数である。 (1) 不等式 (1) と (2) を同時に満たす実数 $x$ が存在するような $k$ の値の範囲を求めよ。 (2) 不等式 (1) の解が不等式 (2) の解に含まれるような $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

二つの不等式 $|x-7|<2$ (1) と $|x-3|<k$ (2) が与えられている。ただし、$k$ は正の定数である。

(1) 不等式 (1) と (2) を同時に満たす実数 $x$ が存在するような $k$ の値の範囲を求めよ。

(2) 不等式 (1) の解が不等式 (2) の解に含まれるような $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、不等式 (1) を解く。

$|x-7|<2$ は $-2 < x-7 < 2$ と同値である。

各辺に 7 を加えると、$-2+7 < x < 2+7$ となり、$5 < x < 9$ である。

次に、不等式 (2) を解く。

$|x-3|<k$ は $-k < x-3 < k$ と同値である。

各辺に 3 を加えると、$-k+3 < x < k+3$ である。

不等式 (1) と (2) を同時に満たす実数 $x$ が存在するためには、区間 $(5, 9)$ と $(-k+3, k+3)$ が共通部分を持つ必要がある。

そのためには、$-k+3 < 9$ かつ $5 < k+3$ が必要である。

$-k+3 < 9$ より $-k < 6$ となり、$k > -6$ である。$k$ が正の定数であることからこれは常に成り立つ。

$5 < k+3$ より $2 < k$ となる。

さらに、$5 < k+3$ かつ $-k+3 < 9$ だけでは十分ではない。区間 $(5,9)$ と $(-k+3, k+3)$ の共通部分が存在するためには、$-k+3 < 9$ かつ $5 < k+3$ であり、$5<k+3$ より $k>2$、$-k+3<9$ より $k>-6$ である。さらに $-k+3 < 5$ または $9 < k+3$ でなければならない。

$-k+3 < 5$ より $-k<2$ なので、$k > -2$ となり、$9<k+3$ より $k>6$となる。

$k>2$と$k>6$の$k>6$を満たせばいいので、$k>6$が(1)の答え。

次に (2) を解く。

不等式 (1) の解が不等式 (2) の解に含まれるためには、

$-k+3 \le 5$ かつ $9 \le k+3$ が成り立つ必要がある。

$-k+3 \le 5$ より $-k \le 2$ となり、$k \ge -2$ である。$k$ が正の定数であることから常に成り立つ。

$9 \le k+3$ より $6 \le k$ となる。したがって、$k \ge 6$ である。

(2)

不等式(1)の解は$5<x<9$。

不等式(2)の解は$3-k<x<3+k$。

不等式(1)の解が不等式(2)の解に含まれるということは、$3-k \le 5$かつ$9 \le 3+k$となる必要がある。

$3-k \le 5$より$-k \le 2$、つまり$k \ge -2$。$k$は正の数なのでこれは常に成り立つ。

$9 \le 3+k$より$6 \le k$、つまり$k \ge 6$。

3. 最終的な答え

(1) $k > 6$

(2) $k \ge 6$