(1) $0^\circ < \theta < 90^\circ$ のとき、$\cos(90^\circ - \theta)$ を求めよ。 (2) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\tan(180^\circ - \theta)$ を求めよ。 (3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ において、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の値をすべて求めよ。 (4) $\triangle ABC$ において、$\angle A = 45^\circ$、$\triangle ABC$ の外接円の半径が $\sqrt{5}$ のとき、$BC$ の長さを求めよ。 (5) $\triangle ABC$ において、$AB=5$, $BC=3$, $\angle B = 60^\circ$ のとき、$AC$ の長さを求めよ。 (6) $\triangle ABC$ において、$AB=4$, $AC=7$, $\angle A = 60^\circ$ のとき、$\triangle ABC$ の面積を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $0^\circ < \theta < 90^\circ$ のとき、$\cos(90^\circ - \theta)$ を求めよ。

(2) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\tan(180^\circ - \theta)$ を求めよ。

(3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ において、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の値をすべて求めよ。

(4) $\triangle ABC$ において、$\angle A = 45^\circ$、$\triangle ABC$ の外接円の半径が $\sqrt{5}$ のとき、$BC$ の長さを求めよ。

(5) $\triangle ABC$ において、$AB=5$, $BC=3$, $\angle B = 60^\circ$ のとき、$AC$ の長さを求めよ。

(6) $\triangle ABC$ において、$AB=4$, $AC=7$, $\angle A = 60^\circ$ のとき、$\triangle ABC$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\cos(90^\circ - \theta)$ は $\sin \theta$ に等しいです。

(2) $\tan(180^\circ - \theta) = -\tan \theta$です。

(3) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ は、$\theta = 60^\circ$ と $\theta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ です。

(4) 正弦定理より、$\frac{BC}{\sin A} = 2R$ が成り立ちます。ここで、$R$ は外接円の半径です。

$BC = 2R \sin A = 2\sqrt{5} \sin 45^\circ = 2\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{10}$

(5) 余弦定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$ が成り立ちます。

$AC^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 25 + 9 - 30 \cdot \frac{1}{2} = 34 - 15 = 19$

$AC = \sqrt{19}$

(6) $\triangle ABC$ の面積は $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A$ で求められます。

面積 $= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta$

(2) $-\tan \theta$

(3) $60^\circ, 120^\circ$

(4) $\sqrt{10}$

(5) $\sqrt{19}$

(6) $7\sqrt{3}$