$\int \tan^{-1}x \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int \tan^{-1}x \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を用いて解きます。

部分積分の公式は、$\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

$u = \tan^{-1}x$ と $dv = dx$ とおきます。

すると、$du = \frac{1}{1+x^2}dx$ と $v = x$ となります。

部分積分の公式を適用すると、

$\int \tan^{-1}x \, dx = x\tan^{-1}x - \int x \cdot \frac{1}{1+x^2} \, dx$

残りの積分 $\int \frac{x}{1+x^2} \, dx$ を計算します。

$t = 1+x^2$ とおくと、$dt = 2x \, dx$ となり、$x \, dx = \frac{1}{2} dt$ です。

したがって、

$\int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{2} \, dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} \, dt = \frac{1}{2} \ln |t| + C = \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$

（$1+x^2$ は常に正なので絶対値をはずしました。）

これを元の式に代入すると、

$\int \tan^{-1}x \, dx = x\tan^{-1}x - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$

3. 最終的な答え

$x\tan^{-1}x - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$