$(x+3)^4$ を展開したときの、$x^3$ の係数を求めよ。

1. 問題の内容

$(x+3)^4$ を展開したときの、$x^3$ の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

二項定理を用いる。

二項定理とは、任意の整数 $n$ に対して、

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

と展開できる定理である。

この問題では、$a=x$, $b=3$, $n=4$ である。

$x^3$ の係数を求めたいので、$n-k = 3$ となる $k$ を考える。

$4-k = 3$ より、$k=1$ である。

したがって、$x^3$ の項は $\binom{4}{1} x^{4-1} 3^1 = \binom{4}{1} x^3 \cdot 3$ となる。

二項係数 $\binom{4}{1}$ は、

$$\binom{4}{1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times (3 \times 2 \times 1)} = 4$$

である。

よって、$x^3$ の項は $4 \cdot x^3 \cdot 3 = 12 x^3$ である。

したがって、$x^3$ の係数は 12 である。

3. 最終的な答え

12