$\int e^x \cos x \, dx$ を計算する。

1. 問題の内容

$\int e^x \cos x \, dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

部分積分を2回用いる。

まず、$u = \cos x$、$dv = e^x \, dx$ とすると、$du = -\sin x \, dx$、$v = e^x$ である。

したがって、

$$\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x - \int e^x (-\sin x) \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx$$

次に、$\int e^x \sin x \, dx$ を計算する。

$u = \sin x$、$dv = e^x \, dx$ とすると、$du = \cos x \, dx$、$v = e^x$ である。

したがって、

$$\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$$

これらを組み合わせると、

$$\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$$

$\int e^x \cos x \, dx$ を左辺に移行すると、

$$2 \int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + e^x \sin x$$

よって、

$$\int e^x \cos x \, dx = \frac{1}{2} (e^x \cos x + e^x \sin x) + C$$

ここで、$C$ は積分定数である。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C$