(1) $\frac{3}{\sqrt{2}+1}$ を計算し、分母を有理化してください。 (2) $\frac{1}{2+\sqrt{3}}$ を計算し、分母を有理化してください。 (3) $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ を計算し、分母を有理化してください。

はい、承知いたしました。画像に写っている3つの問題について、それぞれ解答を提示します。

1. 問題の内容

(1) $\frac{3}{\sqrt{2}+1}$ を計算し、分母を有理化してください。

(2) $\frac{1}{2+\sqrt{3}}$ を計算し、分母を有理化してください。

(3) $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ を計算し、分母を有理化してください。

2. 解き方の手順

(1) 分母の有理化を行います。分母が $\sqrt{2}+1$ なので、$\sqrt{2}-1$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{3}{\sqrt{2}+1} = \frac{3(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}$

$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$

よって、

$\frac{3(\sqrt{2}-1)}{1} = 3\sqrt{2} - 3$

(2) 分母の有理化を行います。分母が $2+\sqrt{3}$ なので、$2-\sqrt{3}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$

$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$

よって、

$\frac{2-\sqrt{3}}{1} = 2 - \sqrt{3}$

(3) 分母の有理化を行います。分母が $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ なので、$\sqrt{5}+\sqrt{2}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}$

$(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$

$3\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{2}) = 3(\sqrt{10} + 2)$

よって、

$\frac{3(\sqrt{10} + 2)}{3} = \sqrt{10} + 2$

3. 最終的な答え

(1) $3\sqrt{2} - 3$

(2) $2 - \sqrt{3}$

(3) $\sqrt{10} + 2$