3つの直線 $l, m, n$ がそれぞれ点 $A, B, C$ で交わっています。直線 $m$ は $y = -3x + 6$ であり、点 $B$ の座標は $(-2, 0)$ です。直線 $l$ は点 $B$ を通り、傾きが変化します。 (1) 直線 $l$ の式を求めなさい。 (2) 点 $C$ の $x$ 座標が1のとき、 　①点 $C$ の $y$ 座標を求めなさい。 　②直線 $n$ の式を求めなさい。 (3) (2)のとき、$\triangle ABC$ の面積を求めなさい。

1. 問題の内容

3つの直線 $l, m, n$ がそれぞれ点 $A, B, C$ で交わっています。直線 $m$ は $y = -3x + 6$ であり、点 $B$ の座標は $(-2, 0)$ です。直線 $l$ は点 $B$ を通り、傾きが変化します。

(1) 直線 $l$ の式を求めなさい。

(2) 点 $C$ の $x$ 座標が1のとき、

　①点 $C$ の $y$ 座標を求めなさい。

　②直線 $n$ の式を求めなさい。

(3) (2)のとき、$\triangle ABC$ の面積を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

直線 $l$ は点 $B(-2, 0)$ を通る直線なので、$y = a(x + 2)$ と表せる。ただし、$a$ は傾きを表す。

直線 $m$ と直線 $l$ の交点 $A$ は、問題文の図から $y$ 軸上にあるため、$x = 0$ である。

$x = 0$ を $y = -3x + 6$ に代入すると、$y = 6$ となる。

したがって、$A(0, 6)$ である。

$A(0, 6)$ を $y = a(x + 2)$ に代入すると、$6 = a(0 + 2)$ となる。

$6 = 2a$ より、$a = 3$。

よって、直線 $l$ の式は $y = 3(x + 2) = 3x + 6$ である。

(2)

① 点 $C$ の $x$ 座標が1のとき、$C$ は直線 $m$ 上にあるので、直線 $m$ の式 $y = -3x + 6$ に $x = 1$ を代入すると、$y = -3(1) + 6 = 3$。

したがって、点 $C$ の $y$ 座標は3である。

② 点 $B$ の座標は $(-2, 0)$ であり、点 $C$ の座標は $(1, 3)$ である。

直線 $n$ の式を $y = ax + b$ とすると、

$0 = -2a + b$

$3 = a + b$

この連立方程式を解く。

2式目から1式目を引くと、$3 = 3a$ より、$a = 1$。

$a = 1$ を $3 = a + b$ に代入すると、$3 = 1 + b$ より、$b = 2$。

よって、直線 $n$ の式は $y = x + 2$ である。

(3)

$A(0, 6)$, $B(-2, 0)$, $C(1, 3)$ のとき、$\triangle ABC$ の面積を求める。

$\triangle ABC$ の面積は、点 $A$, $B$, $C$ の座標を使って次の公式で求めることができる。

$S = \frac{1}{2} |(x_A - x_C)(y_B - y_A) - (x_A - x_B)(y_C - y_A)|$

$S = \frac{1}{2} |(0 - 1)(0 - 6) - (0 - (-2))(3 - 6)|$

$S = \frac{1}{2} |(-1)(-6) - (2)(-3)|$

$S = \frac{1}{2} |6 - (-6)|$

$S = \frac{1}{2} |12|$

$S = 6$

3. 最終的な答え

(1) $y = 3x + 6$

(2) ① $y = 3$　② $y = x + 2$

(3) 6