複素数 $z$ に関する方程式 $z^4 = -8 + 8\sqrt{3}i$ を解く問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に関する方程式 $z^4 = -8 + 8\sqrt{3}i$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、複素数 $-8 + 8\sqrt{3}i$ を極形式で表します。

絶対値 $r$ は、

$r = \sqrt{(-8)^2 + (8\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 192} = \sqrt{256} = 16$

偏角 $\theta$ は、$\cos \theta = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$, $\sin \theta = \frac{8\sqrt{3}}{16} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\theta = \frac{2\pi}{3}$ となります。

したがって、$-8 + 8\sqrt{3}i = 16(\cos \frac{2\pi}{3} + i\sin \frac{2\pi}{3})$ となります。

$z = R(\cos \phi + i\sin \phi)$ とおくと、

$z^4 = R^4(\cos 4\phi + i\sin 4\phi)$ となります。

したがって、

$R^4 = 16$ かつ $4\phi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ (kは整数) が成り立ちます。

$R > 0$ より、$R = 2$。

$\phi = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}$ (k = 0, 1, 2, 3)

k=0のとき、$\phi = \frac{\pi}{6}$ より、 $z = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i) = \sqrt{3} + i$

k=1のとき、$\phi = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{3}$ より、 $z = 2(\cos \frac{2\pi}{3} + i\sin \frac{2\pi}{3}) = 2(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = -1 + \sqrt{3}i$

k=2のとき、$\phi = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$ より、 $z = 2(\cos \frac{7\pi}{6} + i\sin \frac{7\pi}{6}) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i) = -\sqrt{3} - i$

k=3のとき、$\phi = \frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{2} = \frac{5\pi}{3}$ より、 $z = 2(\cos \frac{5\pi}{3} + i\sin \frac{5\pi}{3}) = 2(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 1 - \sqrt{3}i$

3. 最終的な答え

$z = \sqrt{3} + i, -1 + \sqrt{3}i, -\sqrt{3} - i, 1 - \sqrt{3}i$