$z^4 = -8 + 8\sqrt{3}i$ を満たす複素数 $z$ のうち、実部が最大であるものを求める。

1. 問題の内容

$z^4 = -8 + 8\sqrt{3}i$ を満たす複素数 $z$ のうち、実部が最大であるものを求める。

2. 解き方の手順

まず、複素数 $-8 + 8\sqrt{3}i$ を極形式で表す。

絶対値は $|-8 + 8\sqrt{3}i| = \sqrt{(-8)^2 + (8\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 192} = \sqrt{256} = 16$.

偏角を $\theta$ とすると、

$\cos \theta = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$

$\sin \theta = \frac{8\sqrt{3}}{16} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、$\theta = \frac{2\pi}{3}$.

したがって、$-8 + 8\sqrt{3}i = 16 (\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3})$.

$z^4 = 16 (\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3})$ より、

$z = r(\cos \phi + i \sin \phi)$ とおくと、

$z^4 = r^4 (\cos 4\phi + i \sin 4\phi) = 16 (\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3})$.

よって、$r^4 = 16$ より $r = 2$（$r>0$より）。

また、$4\phi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ （$k$ は整数）より、

$\phi = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}$

$k = 0, 1, 2, 3$ に対する $\phi$ はそれぞれ

$\phi_0 = \frac{\pi}{6}, \phi_1 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{3}, \phi_2 = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}, \phi_3 = \frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{2} = \frac{5\pi}{3}$.

対応する $z$ は

$z_0 = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}) = \sqrt{3} + i$

$z_1 = 2(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}) = 2(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 + i\sqrt{3}$

$z_2 = 2(\cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6}) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2} - i \frac{1}{2}) = -\sqrt{3} - i$

$z_3 = 2(\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3}) = 2(\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 - i\sqrt{3}$

実部が最大であるのは $z_0 = \sqrt{3} + i$ である。

3. 最終的な答え

$\sqrt{3} + i$