与えられた三角関数の問題を解き、空欄にあてはまるものを解答群から選択する。具体的には、以下の4つの小問題を解く。 (1) $\cos 15^\circ \sin 105^\circ - \cos 105^\circ \sin 15^\circ$ の値を求める。 (2) $\tan \theta = -2$ のとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta + \cos \theta$ の値を求める。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。 (3) $0^\circ \le x \le 180^\circ$ のとき、$2\cos^2 x - \sin x - 1 = 0$ の解を求める。 (4) 直線 $y = \sqrt{3} x$ と直線 $y = -x$ がなす鋭角 $\theta$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の問題を解き、空欄にあてはまるものを解答群から選択する。具体的には、以下の4つの小問題を解く。

(1) $\cos 15^\circ \sin 105^\circ - \cos 105^\circ \sin 15^\circ$ の値を求める。

(2) $\tan \theta = -2$ のとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta + \cos \theta$ の値を求める。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。

(3) $0^\circ \le x \le 180^\circ$ のとき、$2\cos^2 x - \sin x - 1 = 0$ の解を求める。

(4) 直線 $y = \sqrt{3} x$ と直線 $y = -x$ がなす鋭角 $\theta$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

三角関数の公式 $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ を利用する。

与式は $\sin(105^\circ - 15^\circ) = \sin 90^\circ = 1$ となる。

(2)

$\tan \theta = -2$ より、$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -2$ である。

また、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ である。

$\sin \theta = -2 \cos \theta$ を $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入すると、

$(-2 \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$4 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$5 \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{5}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ かつ $\tan \theta = -2 < 0$ より、$\theta$ は第2象限の角であるから、$\cos \theta < 0$ なので、$\cos \theta = - \frac{1}{\sqrt{5}} = - \frac{\sqrt{5}}{5}$。

$\sin \theta = -2 \cos \theta = -2 \left( -\frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

(3)

$2\cos^2 x - \sin x - 1 = 0$

$2(1 - \sin^2 x) - \sin x - 1 = 0$

$2 - 2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$

$-2\sin^2 x - \sin x + 1 = 0$

$2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$

$(2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$

$\sin x = \frac{1}{2}$ または $\sin x = -1$

$0^\circ \le x \le 180^\circ$ より、

$\sin x = \frac{1}{2}$ のとき、$x = 30^\circ, 150^\circ$

$\sin x = -1$ のとき、$x = 270^\circ$ だが、$0^\circ \le x \le 180^\circ$ を満たさないので不適。

したがって、$x = 30^\circ, 150^\circ$

(4)

直線 $y = \sqrt{3} x$ の傾きは $\sqrt{3}$ なので、この直線と $x$ 軸のなす角は $60^\circ$ である。

直線 $y = -x$ の傾きは $-1$ なので、この直線と $x$ 軸のなす角は $135^\circ$ である。

2つの直線がなす角は、$|135^\circ - 60^\circ| = 75^\circ$ である。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $-\frac{\sqrt{5}}{5}$, $\frac{\sqrt{5}}{5}$

(3) $30^\circ, 150^\circ$

(4) $75^\circ$