台形ABCDにおいて、点PがAを出発し、AB, BC上をCまで進む。点PがAを出発してからx秒後の、Aを含む図形Mの面積をyとする。 (1) x=3のときの図形M, Nの面積を求める。 (2) 点PがAB上, BC上にあるときのyをxの式で表し、xの変域を求める。 (3) 図形M, Nの面積が等しくなるのは、点PがAを出発してから何秒後かを求める。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、点PがAを出発し、AB, BC上をCまで進む。点PがAを出発してからx秒後の、Aを含む図形Mの面積をyとする。

(1) x=3のときの図形M, Nの面積を求める。

(2) 点PがAB上, BC上にあるときのyをxの式で表し、xの変域を求める。

(3) 図形M, Nの面積が等しくなるのは、点PがAを出発してから何秒後かを求める。

2. 解き方の手順

(1)

点PがAB上にあるとき、AP=x。

x=3のとき、AP=3。

図形Mは台形APMD。

台形APMDの面積は、

$y = \frac{1}{2} (AP + AD) \times AB = \frac{1}{2}(3 + 4) \times 8 = 28$

図形Nの面積は、台形ABCDの面積から図形Mの面積を引いたもの。

台形ABCDの面積は、

$\frac{1}{2}(AD + BC) \times AB = \frac{1}{2} (4 + 10) \times 8 = 56$

図形Nの面積は、

$56 - 28 = 28$

(2) ①

点PがAB上にあるとき(0 ≦ x ≦ 8)、AP = x。

図形Mは台形APMD。

台形APMDの面積は、

$y = \frac{1}{2} (AP + AD) \times AB = \frac{1}{2} (x + 4) \times 8 = 4(x + 4) = 4x + 16$

$y = 4x + 16$

$0 \leq x \leq 8$

②

点PがBC上にあるとき(8 ≦ x ≦ 18)、BP = x - 8。

図形Mは台形ABCDから三角形DPCを除いたもの。

DPとBCのなす角は90度だから、三角形DPCの面積は、

$\frac{1}{2} \times PC \times DC$

DCは、三平方の定理より$DC^2 = AB^2 + (BC-AD)^2 = 8^2 + 6^2 = 100$だから、DC=10。

$PC = BC - BP = 10 - (x - 8) = 18 - x$

$\frac{1}{2} \times (18 - x) \times 4 = 2(18 - x) = 36 - 2x$

$y = 56 - (36 - 2x) = 2x + 20$

$y = 2x + 20$

$8 \leq x \leq 18$

(3)

図形M, Nの面積が等しくなるということは、図形Mの面積が台形ABCDの面積の半分になるということ。

台形ABCDの面積は56なので、Mの面積が28になる時を求める。

点PがAB上にあるとき：

$4x + 16 = 28$

$4x = 12$

$x = 3$

点PがBC上にあるとき：

$2x + 20 = 28$

$2x = 8$

$x = 4$ これは$8 \leq x \leq 18$を満たさないので、不適。

3. 最終的な答え

(1) 図形M：28 cm², 図形N：28 cm²

(2) ① y = 4x + 16 (0 ≦ x ≦ 8)

② y = 2x + 20 (8 ≦ x ≦ 18)

(3) 3 秒後