与えられた等比級数 $x^2 + x + \frac{x^2 + x}{x^2 + x + 1} + \frac{x^2 + x}{(x^2 + x + 1)^2} + \dots + \frac{x^2 + x}{(x^2 + x + 1)^{n-1}} + \dots$ について、(1) この級数が収束するような $x$ の範囲を求め、(2) $x$ がその範囲にあるとき、この等比級数の和を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた等比級数

$x^2 + x + \frac{x^2 + x}{x^2 + x + 1} + \frac{x^2 + x}{(x^2 + x + 1)^2} + \dots + \frac{x^2 + x}{(x^2 + x + 1)^{n-1}} + \dots$

について、(1) この級数が収束するような $x$ の範囲を求め、(2) $x$ がその範囲にあるとき、この等比級数の和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 等比級数の収束条件は、初項が0であるか、公比の絶対値が1より小さいことです。この等比級数の初項は $x^2 + x$ であり、公比は $\frac{1}{x^2 + x + 1}$ です。

まず、初項が0の場合を考えます。

$x^2 + x = 0$

$x(x + 1) = 0$

$x = 0, -1$

次に、公比の絶対値が1より小さい場合を考えます。

$\left| \frac{1}{x^2 + x + 1} \right| < 1$

$\frac{1}{|x^2 + x + 1|} < 1$

$|x^2 + x + 1| > 1$

$x^2 + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$ より、$x^2 + x + 1$ は常に正であるので、絶対値を外すことができます。

$x^2 + x + 1 > 1$

$x^2 + x > 0$

$x(x + 1) > 0$

$x < -1$ または $x > 0$

したがって、この級数が収束する $x$ の範囲は $x \le -1$ または $x \ge 0$ です。

(2) 等比級数の和の公式は、初項を $a$ 、公比を $r$ とすると、 $|r| < 1$ のとき、

$S = \frac{a}{1 - r}$ です。

この問題の場合、$a = x^2 + x$ 、$r = \frac{1}{x^2 + x + 1}$ です。

$|r| < 1$ の条件は、すでに $x < -1$ または $x > 0$ で求めました。

等比級数の和は

$S = \frac{x^2 + x}{1 - \frac{1}{x^2 + x + 1}} = \frac{x^2 + x}{\frac{x^2 + x + 1 - 1}{x^2 + x + 1}} = \frac{(x^2 + x)(x^2 + x + 1)}{x^2 + x} = x^2 + x + 1$

ただし、$x = 0, -1$ のときは、$x^2 + x = 0$ なので、級数の和は 0 になります。

$x \le -1$ または $x \ge 0$ で、$x = 0, -1$ のときは級数の和は0、そうでないときは $x^2+x+1$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x \le -1$ または $x \ge 0$

(2)

$x = 0$ または $x = -1$ のとき、0

$x < -1$ または $x > 0$ のとき、$x^2 + x + 1$