与えられた式 $(4^x + 4^{-x})(2^x - 2^{-x})$ を簡略化し、最終的な形を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(4^x + 4^{-x})(2^x - 2^{-x})$ を簡略化し、最終的な形を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、 $4^x$ を $2^{2x}$、 $4^{-x}$ を $2^{-2x}$と書き換えます。

すると、与えられた式は

$(2^{2x} + 2^{-2x})(2^x - 2^{-x})$

となります。

次に、この式を展開します。

$(2^{2x} + 2^{-2x})(2^x - 2^{-x}) = 2^{2x} \cdot 2^x - 2^{2x} \cdot 2^{-x} + 2^{-2x} \cdot 2^x - 2^{-2x} \cdot 2^{-x}$

$= 2^{3x} - 2^x + 2^{-x} - 2^{-3x}$

$= 2^{3x} - 2^{-3x} - (2^x - 2^{-x})$

ここで、 $2^{3x}$を $8^x$、$2^{-3x}$を $8^{-x}$ と書き換えると、

$8^x - 8^{-x} - (2^x - 2^{-x})$

となります。

したがって、

$(4^x + 4^{-x})(2^x - 2^{-x}) = 2^{3x} - 2^x + 2^{-x} - 2^{-3x} = 8^x - 8^{-x} - (2^x - 2^{-x})$

別の展開方法もあります。

$(2^{2x} + 2^{-2x})(2^x - 2^{-x}) = 2^{2x} \cdot 2^x - 2^{2x} \cdot 2^{-x} + 2^{-2x} \cdot 2^x - 2^{-2x} \cdot 2^{-x}$

$= 2^{3x} - 2^x + 2^{-x} - 2^{-3x}$

$= (2^{3x} - 2^{-3x}) - (2^{x} - 2^{-x})$

$= (2^x)^3 - (2^{-x})^3 - (2^{x} - 2^{-x})$

ここで、$A = 2^x$ とすると、 $2^{-x} = A^{-1}$

$(A^3 - A^{-3}) - (A - A^{-1})$

元の式を因数分解することは難しいようです。

3. 最終的な答え

$8^x - 8^{-x} - (2^x - 2^{-x})$