一辺の長さが12cmの正方形ABCDがあり、AE=BF=CG=DHとなるように点E, F, G, Hを取って正方形EFGHを作った時、正方形EFGHの面積が128cm^2である。この時、以下の問題を解く。 (1) 三角形AEHの面積を求める。 (2) 線分AEの長さを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが12cmの正方形ABCDがあり、AE=BF=CG=DHとなるように点E, F, G, Hを取って正方形EFGHを作った時、正方形EFGHの面積が128cm^2である。この時、以下の問題を解く。

(1) 三角形AEHの面積を求める。

(2) 線分AEの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

正方形ABCDの面積は $12 \times 12 = 144$ cm$^2$。

正方形EFGHの面積は $128$ cm$^2$。

したがって、4つの合同な三角形の面積の合計は $144 - 128 = 16$ cm$^2$。

よって、三角形AEHの面積は $16 \div 4 = 4$ cm$^2$。

(2)

AEの長さを $x$ cmとおく。すると、DHの長さも $x$ cmとなる。

したがって、AHの長さは $12 - x$ cmとなる。

三角形AEHの面積は $4$ cm$^2$であるから、

$\frac{1}{2} \times AE \times AH = 4$

$\frac{1}{2} \times x \times (12 - x) = 4$

$x(12 - x) = 8$

$12x - x^2 = 8$

$x^2 - 12x + 8 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \times 1 \times 8}}{2 \times 1}$

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 32}}{2}$

$x = \frac{12 \pm \sqrt{112}}{2}$

$x = \frac{12 \pm 4\sqrt{7}}{2}$

$x = 6 \pm 2\sqrt{7}$

ここで、$0 < x < 12$である必要がある。

$2\sqrt{7} \approx 2 \times 2.646 = 5.292$

$6 + 2\sqrt{7} \approx 11.292$

$6 - 2\sqrt{7} \approx 0.708$

両方とも$0 < x < 12$を満たす。しかし、もし$AE > DH$と考えるならば、$AE = 6 + 2\sqrt{7}$は不適。

したがって、$AE = 6 - 2\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

(1) 4 cm$^2$

(2) $6 - 2\sqrt{7}$ cm