数列 $\{a_n\}$ が $2, 5, 11, 23, 47, \dots$ で与えられているとき、一般項 $a_n$ を $a_n = オ \cdot カ^{n-1} - キ$ の形で表す問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $2, 5, 11, 23, 47, \dots$ で与えられているとき、一般項 $a_n$ を $a_n = オ \cdot カ^{n-1} - キ$ の形で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、数列の階差を求めます。

$5-2 = 3$

$11-5 = 6$

$23-11 = 12$

$47-23 = 24$

階差数列は $3, 6, 12, 24, \dots$ となり、これは初項3、公比2の等比数列です。したがって、階差数列の一般項を $b_n$ とすると、

$b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

となります。

$n \ge 2$ のとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

で表されます。$a_1 = 2$ であるから、

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 3 \cdot 2^{k-1}$

ここで、$\sum_{k=1}^{n-1} 3 \cdot 2^{k-1}$ は初項3、公比2、項数 $n-1$ の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n-1} 3 \cdot 2^{k-1} = \frac{3(2^{n-1}-1)}{2-1} = 3(2^{n-1}-1) = 3 \cdot 2^{n-1} - 3$

したがって、

$a_n = 2 + 3 \cdot 2^{n-1} - 3 = 3 \cdot 2^{n-1} - 1$

これは $n=1$ のときも $a_1 = 3 \cdot 2^{1-1} - 1 = 3 - 1 = 2$ となり成立します。

したがって、$a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1$

3. 最終的な答え

オ = 3

カ = 2

キ = 1