$I_n = \int x^n a^x dx$ （$a > 0, a \neq 1$）の不定積分の漸化式を求める。

1. 問題の内容

$I_n = \int x^n a^x dx$ （$a > 0, a \neq 1$）の不定積分の漸化式を求める。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて漸化式を導出する。

$I_n = \int x^n a^x dx$ において、$u = x^n$, $dv = a^x dx$ とすると、

$du = nx^{n-1} dx$, $v = \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$ となる。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$$I_n = \int x^n a^x dx = x^n \frac{a^x}{\ln a} - \int \frac{a^x}{\ln a} nx^{n-1} dx$$

$$I_n = \frac{x^n a^x}{\ln a} - \frac{n}{\ln a} \int x^{n-1} a^x dx$$

ここで、$\int x^{n-1} a^x dx = I_{n-1}$ なので、

$$I_n = \frac{x^n a^x}{\ln a} - \frac{n}{\ln a} I_{n-1}$$

3. 最終的な答え

$I_n = \frac{x^n a^x}{\ln a} - \frac{n}{\ln a} I_{n-1}$

ここで、$I_n = \int x^n a^x dx$ であり、$a>0$, $a\neq 1$である。