与えられた恒等式 $\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1} \right)$ を利用して、和 $S = \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$ を求める問題です。 - 解析学

まず、与えられた恒等式を利用して、各項を分解します。

S = \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}

の各項を

\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}

と見なします。

このとき、

k=1

から

k=n

まで足し合わせることになります。したがって、

S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1} \right) = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1} \right)

次に、

\sum

の部分を展開します。

\sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1} \right) = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{10} \right) + \dots + \left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} \right)

これは、隣り合う項が打ち消し合う「telescoping sum（望遠鏡和）」になっているため、初めの項と最後の項だけが残ります。

\sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1} \right) = 1 - \frac{1}{3n+1}

したがって、

S = \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{3n+1} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3n+1}{3n+1} - \frac{1}{3n+1} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3n}{3n+1} \right) = \frac{n}{3n+1}

与えられた恒等式 $\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1} \right)$ を利用して、和 $S = \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$ を求める問題です。