$\int \frac{x-1}{x^2+x+3} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int \frac{x-1}{x^2+x+3} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分母 $x^2 + x + 3$ を微分すると、$2x + 1$ になります。分子を $2x+1$ の形に近づけるために、次のように変形します。

$x - 1 = \frac{1}{2}(2x+1) - \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2}(2x+1) - \frac{3}{2}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{x-1}{x^2+x+3} dx = \int \frac{\frac{1}{2}(2x+1) - \frac{3}{2}}{x^2+x+3} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x+1}{x^2+x+3} dx - \frac{3}{2} \int \frac{1}{x^2+x+3} dx$

最初の積分は、$u = x^2 + x + 3$ と置換することで、簡単に計算できます。

$du = (2x+1)dx$なので、

$\frac{1}{2} \int \frac{2x+1}{x^2+x+3} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln |u| + C_1 = \frac{1}{2} \ln |x^2+x+3| + C_1$

次に、2番目の積分を計算します。分母を平方完成します。

$x^2 + x + 3 = (x + \frac{1}{2})^2 + 3 - \frac{1}{4} = (x+\frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4}$

したがって、

$\int \frac{1}{x^2+x+3} dx = \int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4}} dx$

$x+\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{11}}{2} \tan \theta$ と置換すると、$dx = \frac{\sqrt{11}}{2} \sec^2 \theta d\theta$ なので、

$\int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4}} dx = \int \frac{1}{\frac{11}{4} \tan^2 \theta + \frac{11}{4}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{2} \sec^2 \theta d\theta = \int \frac{1}{\frac{11}{4} (\tan^2 \theta + 1)} \cdot \frac{\sqrt{11}}{2} \sec^2 \theta d\theta$

$= \int \frac{1}{\frac{11}{4} \sec^2 \theta} \cdot \frac{\sqrt{11}}{2} \sec^2 \theta d\theta = \frac{4}{11} \cdot \frac{\sqrt{11}}{2} \int d\theta = \frac{2}{\sqrt{11}} \theta + C_2 = \frac{2}{\sqrt{11}} \arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{11}}) + C_2$

よって、

$\int \frac{x-1}{x^2+x+3} dx = \frac{1}{2} \ln |x^2+x+3| - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{11}} \arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{11}}) + C = \frac{1}{2} \ln |x^2+x+3| - \frac{3}{\sqrt{11}} \arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{11}}) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln (x^2+x+3) - \frac{3}{\sqrt{11}} \arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{11}}\right) + C$