実数 $a$ は $-3 < a < 13$ を満たす。曲線 $C: y = |x^2 + (3-a)x - 3a|$ と直線 $l: y = -x + 13$ が接している。 (1) $a$ の値を求める。 (2) 曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた2つの図形のうち、点 $(a, 0)$ が境界線上にある図形の面積を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ は $-3 < a < 13$ を満たす。曲線 $C: y = |x^2 + (3-a)x - 3a|$ と直線 $l: y = -x + 13$ が接している。

(1) $a$ の値を求める。

(2) 曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた2つの図形のうち、点 $(a, 0)$ が境界線上にある図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $C$ と直線 $l$ が接するという条件から $a$ の値を求める。

まず、絶対値を外すことを考える。

$x^2 + (3-a)x - 3a = (x+3)(x-a)$ であるから、

$x^2 + (3-a)x - 3a \geq 0$ のとき、つまり $x \leq -3$ または $x \geq a$ のとき $y = x^2 + (3-a)x - 3a$

$x^2 + (3-a)x - 3a < 0$ のとき、つまり $-3 < x < a$ のとき $y = -(x^2 + (3-a)x - 3a)$

$y = -x + 13$ と $y = x^2 + (3-a)x - 3a$ が接するとき、

$x^2 + (3-a)x - 3a = -x + 13$

$x^2 + (4-a)x - 3a - 13 = 0$

判別式 $D = (4-a)^2 - 4(-3a - 13) = a^2 - 8a + 16 + 12a + 52 = a^2 + 4a + 68 = 0$

これは実数解を持たない。

$y = -x + 13$ と $y = -(x^2 + (3-a)x - 3a)$ が接するとき、

$-x + 13 = -x^2 - (3-a)x + 3a$

$x^2 + (2-a)x + 13 - 3a = 0$

判別式 $D = (2-a)^2 - 4(13-3a) = a^2 - 4a + 4 - 52 + 12a = a^2 + 8a - 48 = (a+12)(a-4) = 0$

$a = -12$ または $a = 4$

$-3 < a < 13$ より、$a=4$.

$x^2 - 2x + 1 = 0$ より $x = 1$

$x=1$ は $-3<x<a$ を満たすため、$a=4$ は適切である。

(2) $a=4$ のとき、$C: y = |x^2 - x - 12| = |(x-4)(x+3)|$, $l: y = -x + 13$

$C$ と $l$ の交点は、

$|(x-4)(x+3)| = -x+13$

$x \leq -3$ または $x \geq 4$ のとき、$(x-4)(x+3) = -x+13 \Rightarrow x^2 + 4x - 25 = 0$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16+100}}{2} = -2 \pm \sqrt{29}$. よって $x = -2 - \sqrt{29}$ または $x = -2 + \sqrt{29}$

$x = -2 - \sqrt{29} < -3$ であり、$x = -2 + \sqrt{29} > 4$ である。

$-3 < x < 4$ のとき、$-(x-4)(x+3) = -x+13 \Rightarrow -x^2 + x + 12 = -x + 13 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ (接点)

点 $(a, 0) = (4, 0)$ は、$y = |x^2 - x - 12|$ 上にある。

囲まれた2つの領域のうち、境界線上に $(4, 0)$ があるのは、$1 \leq x \leq -2+\sqrt{29}$ の範囲である。

$\int_1^{4} ((-x+13) - (-(x^2 -x-12))) dx + \int_{4}^{-2+\sqrt{29}} ((-x+13) - (x^2 -x-12)) dx$

$= \int_1^{4} (x^2-2x+1) dx + \int_4^{-2+\sqrt{29}} (-x^2+25)dx$

$= [\frac{1}{3}x^3 - x^2 + x]_1^4 + [-\frac{1}{3}x^3 + 25x]_4^{-2+\sqrt{29}}$

$= (\frac{64}{3} - 16 + 4) - (\frac{1}{3} - 1 + 1) + (-\frac{1}{3}(-2+\sqrt{29})^3 + 25(-2+\sqrt{29})) - (-\frac{64}{3} + 100)$

別解：$x = 1$で接しており、$x = -2 + \sqrt{29}$で交わる。

$f(x) = x^2 - 2x + 1$と$g(x)=-x^2 +25$。

$g(x)=0$より、$x= \pm 5$。$x=-2 + \sqrt{29} \approx 3.38$ だから$(a, 0) = (4, 0)$ は $f(x)$ で囲まれる領域上にある。

$\int_1^{4} (-x+13) - (-(x^2-x-12)) dx = \int_1^4 (x^2-2x+1) dx = [\frac{1}{3}x^3 -x^2 + x]_1^4 = \frac{1}{3}(64-1) - (16-1) + (4-1) = \frac{63}{3} - 15 + 3 = 21 - 15 + 3 = 9$

3. 最終的な答え

(1) $a = 4$

(2) $9$