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$n$ は自然数、$a$ は $0 < a \le 1$ を満たす定数とする。 $I_n = \frac{1}{n!} \int_0^a (a-x)^n e^x dx$ とおく。ただし、$e$ は自然対数の底である。 (1) $I_1$ を求めよ。 (2) $\lim_{n \to \infty} I_n$ を求めよ。 (3) $I_{n+1}$ を $I_n$ を用いて表せ。 (4) (3)までの結果を用いて、無限級数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{a^n}{n!}$ の和を求めよ。

解析学積分無限級数極限部分積分自然対数の底
2025/8/15

1. 問題の内容

nn は自然数、aa は 0<a≤10 < a \le 1 を満たす定数とする。
In=1n!∫0a(a−x)nexdxI_n = \frac{1}{n!} \int_0^a (a-x)^n e^x dx とおく。ただし、ee は自然対数の底である。
(1) I1I_1 を求めよ。
(2) lim⁡n→∞In\lim_{n \to \infty} I_n を求めよ。
(3) In+1I_{n+1} を InI_n を用いて表せ。
(4) (3)までの結果を用いて、無限級数 ∑n=1∞ann!\sum_{n=1}^\infty \frac{a^n}{n!} の和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) I1I_1 を求める。
I1=11!∫0a(a−x)exdx=∫0a(a−x)exdxI_1 = \frac{1}{1!} \int_0^a (a-x) e^x dx = \int_0^a (a-x) e^x dx
部分積分を行う。u=a−xu = a-x, dv=exdxdv = e^x dx とすると、du=−dxdu = -dx, v=exv = e^x である。
I1=[(a−x)ex]0a−∫0a(−1)exdx=[(a−x)ex]0a+∫0aexdxI_1 = [(a-x) e^x]_0^a - \int_0^a (-1) e^x dx = [(a-x) e^x]_0^a + \int_0^a e^x dx
I1=(0−ae0)+[ex]0a=−a+(ea−e0)=ea−a−1I_1 = (0 - ae^0) + [e^x]_0^a = -a + (e^a - e^0) = e^a - a - 1
(2) lim⁡n→∞In\lim_{n \to \infty} I_n を求める。
0<x<a0 < x < a において、0<a≤10 < a \le 1 より、ex≤ea≤ee^x \le e^a \le e である。
In=1n!∫0a(a−x)nexdxI_n = \frac{1}{n!} \int_0^a (a-x)^n e^x dx に対して、
0≤In≤1n!∫0a(a−x)neadx=ean!∫0a(a−x)ndx0 \le I_n \le \frac{1}{n!} \int_0^a (a-x)^n e^a dx = \frac{e^a}{n!} \int_0^a (a-x)^n dx
∫0a(a−x)ndx=[−(a−x)n+1n+1]0a=0−(−an+1n+1)=an+1n+1\int_0^a (a-x)^n dx = [-\frac{(a-x)^{n+1}}{n+1}]_0^a = 0 - (-\frac{a^{n+1}}{n+1}) = \frac{a^{n+1}}{n+1}
0≤In≤ean!an+1n+1=eaan+1(n+1)!0 \le I_n \le \frac{e^a}{n!} \frac{a^{n+1}}{n+1} = e^a \frac{a^{n+1}}{(n+1)!}
lim⁡n→∞an+1(n+1)!=0\lim_{n \to \infty} \frac{a^{n+1}}{(n+1)!} = 0 なので、lim⁡n→∞In=0\lim_{n \to \infty} I_n = 0 (はさみうちの原理)。
(3) In+1I_{n+1} を InI_n を用いて表す。
In+1=1(n+1)!∫0a(a−x)n+1exdxI_{n+1} = \frac{1}{(n+1)!} \int_0^a (a-x)^{n+1} e^x dx
部分積分を行う。u=(a−x)n+1u = (a-x)^{n+1}, dv=exdxdv = e^x dx とすると、du=(n+1)(a−x)n(−1)dxdu = (n+1) (a-x)^n (-1) dx, v=exv = e^x である。
In+1=1(n+1)!{[(a−x)n+1ex]0a−∫0a(n+1)(a−x)n(−1)exdx}I_{n+1} = \frac{1}{(n+1)!} \{[(a-x)^{n+1} e^x]_0^a - \int_0^a (n+1) (a-x)^n (-1) e^x dx\}
=1(n+1)!{0−an+1+(n+1)∫0a(a−x)nexdx}=1(n+1)!(−an+1+(n+1)n!In)= \frac{1}{(n+1)!} \{0 - a^{n+1} + (n+1) \int_0^a (a-x)^n e^x dx\} = \frac{1}{(n+1)!} (- a^{n+1} + (n+1) n! I_n)
=−an+1(n+1)!+(n+1)n!(n+1)!In=−an+1(n+1)!+In= - \frac{a^{n+1}}{(n+1)!} + \frac{(n+1) n!}{(n+1)!} I_n = - \frac{a^{n+1}}{(n+1)!} + I_n
In+1=In−an+1(n+1)!I_{n+1} = I_n - \frac{a^{n+1}}{(n+1)!}
(4) 無限級数 ∑n=1∞ann!\sum_{n=1}^\infty \frac{a^n}{n!} の和を求める。
In+1=In−an+1(n+1)!I_{n+1} = I_n - \frac{a^{n+1}}{(n+1)!} より、an+1(n+1)!=In−In+1\frac{a^{n+1}}{(n+1)!} = I_n - I_{n+1}
∑n=1Nann!=∑n=1N(In−1−In)=I0−IN\sum_{n=1}^N \frac{a^n}{n!} = \sum_{n=1}^N (I_{n-1} - I_n) = I_0 - I_N
I0=10!∫0a(a−x)0exdx=∫0aexdx=[ex]0a=ea−e0=ea−1I_0 = \frac{1}{0!} \int_0^a (a-x)^0 e^x dx = \int_0^a e^x dx = [e^x]_0^a = e^a - e^0 = e^a - 1
∑n=1∞ann!=lim⁡N→∞∑n=1Nann!=lim⁡N→∞(I0−IN)=I0−lim⁡N→∞IN=ea−1−0=ea−1\sum_{n=1}^\infty \frac{a^n}{n!} = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N \frac{a^n}{n!} = \lim_{N \to \infty} (I_0 - I_N) = I_0 - \lim_{N \to \infty} I_N = e^a - 1 - 0 = e^a - 1

3. 最終的な答え

(1) I1=ea−a−1I_1 = e^a - a - 1
(2) lim⁡n→∞In=0\lim_{n \to \infty} I_n = 0
(3) In+1=In−an+1(n+1)!I_{n+1} = I_n - \frac{a^{n+1}}{(n+1)!}
(4) ∑n=1∞ann!=ea−1\sum_{n=1}^\infty \frac{a^n}{n!} = e^a - 1