数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 3$ および漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2^n$ で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。ただし、答えは $a_n = \text{ク} \cdot 2^n + \text{ケ}$ の形式で表される。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 3$ および漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2^n$ で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。ただし、答えは $a_n = \text{ク} \cdot 2^n + \text{ケ}$ の形式で表される。

2. 解き方の手順

まず、$a_{n+1} = a_n + 2^n$ より、$a_{n+1} - a_n = 2^n$ である。これは階差数列を表しているので、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k$

$a_1 = 3$ を代入すると、

$a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k$

等比数列の和の公式を用いて、

$a_n = 3 + \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1}$

$a_n = 3 + 2^n - 2$

$a_n = 2^n + 1$

$n=1$ のとき、$a_1 = 2^1 + 1 = 3$ となり、$a_1=3$ を満たす。したがって、

$a_n = 2^n + 1$

よって、$a_n = 1 \cdot 2^n + 1$となるため、クは1、ケは1である。

3. 最終的な答え

$a_n = 1 \cdot 2^n + 1$