三角錐ABCDにおいて、$AB=AC=BC=CD=BD=2$, $AD=\sqrt{3}$である。三角形ABCと三角形BCDのなす角を求めるために、BCに頂点A, Dから垂線を下ろし、その交点をMとする。このとき、AM, DMの長さを求め、三角形AMDに注目して、$\angle AMD$の角度を求める問題である。

1. 問題の内容

三角錐ABCDにおいて、$AB=AC=BC=CD=BD=2$, $AD=\sqrt{3}$である。三角形ABCと三角形BCDのなす角を求めるために、BCに頂点A, Dから垂線を下ろし、その交点をMとする。このとき、AM, DMの長さを求め、三角形AMDに注目して、$\angle AMD$の角度を求める問題である。

2. 解き方の手順

ステップ1: AMの長さを求める。

三角形ABCは正三角形なので、AMはBCの中点MからAまでの距離である。

正三角形の一辺の長さが2なので、AMは高さに相当する。よって、$AM = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \sqrt{3}$である。

ステップ2: DMの長さを求める。

同様に、三角形BCDも正三角形なので、$DM = \sqrt{3}$である。

ステップ3: $\angle AMD$を求める。

三角形AMDにおいて、$AM = DM = \sqrt{3}$, $AD = \sqrt{3}$である。

したがって、三角形AMDは正三角形である。

正三角形の各内角は60度なので、$\angle AMD = 60^\circ$である。

3. 最終的な答え

$\angle AMD = 60^\circ$