放物線 $y = 2x^2$ を平行移動して、点 $(0, 6)$ と点 $(3, 0)$ を通るようにしたとき、移動後の放物線を表す2次関数を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2$ を平行移動して、点 $(0, 6)$ と点 $(3, 0)$ を通るようにしたとき、移動後の放物線を表す2次関数を求めよ。

2. 解き方の手順

平行移動後の2次関数は、一般的に $y = 2(x - p)^2 + q$ と表せる。なぜなら、$x^2$ の係数は平行移動によって変わらないからである。

この放物線が点 $(0, 6)$ と点 $(3, 0)$ を通るので、それぞれの点を代入して $p$ と $q$ についての連立方程式を立てて解く。

点 $(0, 6)$ を代入すると、

$6 = 2(0 - p)^2 + q$

$6 = 2p^2 + q$

点 $(3, 0)$ を代入すると、

$0 = 2(3 - p)^2 + q$

$0 = 2(9 - 6p + p^2) + q$

$0 = 18 - 12p + 2p^2 + q$

この二つの式から $q$ を消去する。

$6 = 2p^2 + q$ より $q = 6 - 2p^2$

これを $0 = 18 - 12p + 2p^2 + q$ に代入すると、

$0 = 18 - 12p + 2p^2 + (6 - 2p^2)$

$0 = 24 - 12p$

$12p = 24$

$p = 2$

次に $q = 6 - 2p^2$ に $p = 2$ を代入する。

$q = 6 - 2(2)^2 = 6 - 8 = -2$

したがって、平行移動後の放物線の式は $y = 2(x - 2)^2 - 2$ となる。

展開して整理すると、

$y = 2(x^2 - 4x + 4) - 2$

$y = 2x^2 - 8x + 8 - 2$

$y = 2x^2 - 8x + 6$

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 - 8x + 6$