問題(3)は、長方形ABCDの中に三角形AEFがあり、その面積が30cm²であるとき、三角形ADEの面積と線分BEの長さを求める問題です。

1. 問題の内容

問題(3)は、長方形ABCDの中に三角形AEFがあり、その面積が30cm²であるとき、三角形ADEの面積と線分BEの長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ADEの面積を求める。

長方形ABCDの面積は、$AD \times DC = 8 \times 12 = 96$ cm²です。

三角形AEFの面積は30cm²と与えられています。

三角形ADEと三角形ECFと三角形ABFの面積の合計は、長方形ABCDの面積から三角形AEFの面積を引いたものに等しいです。

三角形ABFの面積は、底辺をABとすると高さはADなので、$AB \times BF / 2$となります。

三角形ECFの面積は、底辺をECとすると高さはDCなので、$EC \times DC / 2$となります。

三角形ADEの面積は、底辺をADとすると高さはAEなので、$AD \times AE / 2$となります。

$DE = DC - EC = 8 - EC$

$AE = AD - ED = 12 - ED$

四角形ABCDは長方形なので、AB = DC = 8 cm、AD = BC = 12 cmです。

ここで、三角形AEFの面積は30 cm²であることから、

$三角形ABF + 三角形ECF + 三角形ADE = 96 - 30 = 66$ cm²となります。

三角形ADEの面積 = $\frac{1}{2} \times AD \times AE = \frac{1}{2} \times 8 \times AE = 4AE$

三角形ABFの面積 + 三角形ECFの面積 = $66 - 4AE$

(2) 線分BEの長さを求める。

三角形AEFの面積が30cm²であることから、長方形ABCDの面積から三角形ADE, 三角形ABF, 三角形CFEの面積を引いた値が30cm²になる。

$AD=8$, $CD=12$, $AE=x$, $BF=y$とすると、三角形ADEの面積は$4x$, 三角形ABFの面積は$6y$, 三角形CFEの面積は$\frac{1}{2}(12-x)(8-y)$となる。

長方形の面積は$8\times 12=96$なので、$96 - 4x - 6y - \frac{1}{2}(12-x)(8-y) = 30$が成り立つ。

これを整理すると、$96 - 4x - 6y - \frac{1}{2}(96 - 12y - 8x + xy) = 30$となる。

$96 - 4x - 6y - 48 + 6y + 4x - \frac{1}{2}xy = 30$

$48 - \frac{1}{2}xy = 30$

$\frac{1}{2}xy = 18$

$xy = 36$

したがって、$AE \times BF = 36$となる。

三角形ADEと三角形FBEは相似ではないので、これ以上の条件がない限り、BEの長さは一意に定まらない。

問題文に30cm²という記述があるので、恐らくADEの面積が誤記されている可能性がある。

ここで、長方形ABCDの面積96から三角形AEFの面積30を除くと、三角形ADE + 三角形ABF + 三角形CFE = 66となる。

この面積の合計が66になることから、三角形ADEの面積が24cm²の場合を仮定する。

すると、$\frac{1}{2} \times 8 \times AE = 24$より、$AE = 6$となる。

このとき、三角形ABFと三角形CFEの面積の合計は$66 - 24 = 42$となる。

$BF = x$とすると、$CF = 12 - 6 = 6$, $BE = x$とすると、$FC=12-x$なので、

三角形ABF = $8x/2 = 4x$

三角形CFE = $(12-x)6/2 = 36 - 3x$

よって、$4x + 36 - 3x = 42$

$x = 6$

よって、$BE = 6$

3. 最終的な答え

①三角形ADEの面積：24 cm² (仮定)

②BEの長さ：6 cm (仮定)