放物線 $y = 2x^2$ を平行移動した放物線で、点 $(2, 1)$ と点 $(3, 6)$ を通る放物線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2$ を平行移動した放物線で、点 $(2, 1)$ と点 $(3, 6)$ を通る放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = 2x^2$ を平行移動した放物線の方程式を $y = 2(x - p)^2 + q$ とおきます。ここで、$(p, q)$ は頂点の座標を表します。

次に、この放物線が点 $(2, 1)$ と点 $(3, 6)$ を通ることから、以下の2つの式が得られます。

$1 = 2(2 - p)^2 + q$

$6 = 2(3 - p)^2 + q$

これらの式から $q$ を消去するために、2番目の式から1番目の式を引きます。

$6 - 1 = 2(3 - p)^2 + q - (2(2 - p)^2 + q)$

$5 = 2(3 - p)^2 - 2(2 - p)^2$

$5 = 2((9 - 6p + p^2) - (4 - 4p + p^2))$

$5 = 2(9 - 6p + p^2 - 4 + 4p - p^2)$

$5 = 2(5 - 2p)$

$5 = 10 - 4p$

$4p = 5$

$p = \frac{5}{4}$

求めた $p = \frac{5}{4}$ を最初の式に代入して、$q$ を求めます。

$1 = 2(2 - \frac{5}{4})^2 + q$

$1 = 2(\frac{8}{4} - \frac{5}{4})^2 + q$

$1 = 2(\frac{3}{4})^2 + q$

$1 = 2(\frac{9}{16}) + q$

$1 = \frac{9}{8} + q$

$q = 1 - \frac{9}{8}$

$q = \frac{8}{8} - \frac{9}{8}$

$q = -\frac{1}{8}$

したがって、求める放物線の方程式は $y = 2(x - \frac{5}{4})^2 - \frac{1}{8}$ となります。これを展開して整理します。

$y = 2(x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{25}{16}) - \frac{1}{8}$

$y = 2x^2 - 5x + \frac{25}{8} - \frac{1}{8}$

$y = 2x^2 - 5x + \frac{24}{8}$

$y = 2x^2 - 5x + 3$

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 - 5x + 3$