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2次関数 $y = -2x^2 + 3x + 1$ のグラフの頂点と軸を求め、そのグラフを描く問題です。

代数学二次関数平方完成グラフ
2025/8/15
はい、承知いたしました。問題を解いていきます。
**問題158 (1)**

1. 問題の内容

2次関数 y=−2x2+3x+1y = -2x^2 + 3x + 1 のグラフの頂点と軸を求め、そのグラフを描く問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成の形に変形します。
y=a(x−p)2+qy = a(x-p)^2 + q の形に変形することで、頂点の座標 (p,q)(p, q) がわかります。

1. $y = -2x^2 + 3x + 1$ を $x^2$ の係数でくくります。

y=−2(x2−32x)+1y = -2(x^2 - \frac{3}{2}x) + 1

2. 括弧の中を平方完成します。$x$ の係数の半分 $\frac{3}{4}$ の2乗 $\frac{9}{16}$ を足して引きます。

y=−2(x2−32x+916−916)+1y = -2(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} - \frac{9}{16}) + 1

3. 括弧の中を整理します。

y=−2((x−34)2−916)+1y = -2((x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}) + 1

4. 分配法則を用いて、 $-2$ を括弧の中に掛けます。

y=−2(x−34)2+98+1y = -2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{9}{8} + 1

5. 定数項を計算します。

y=−2(x−34)2+98+88y = -2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{9}{8} + \frac{8}{8}
y=−2(x−34)2+178y = -2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{17}{8}
したがって、頂点の座標は (34,178)(\frac{3}{4}, \frac{17}{8}) です。
軸は、頂点の xx 座標を通る直線なので、x=34x = \frac{3}{4} となります。
グラフを描くには、頂点の座標と軸の情報に加えて、いくつかの点を求めるとより正確になります。 例えば、x=0x=0 のとき y=1y=1、y=0y=0のとき（解の公式を使って）xxを計算すると、グラフの概形を描くことができます。

3. 最終的な答え

頂点の座標: (34,178)(\frac{3}{4}, \frac{17}{8})
軸: x=34x = \frac{3}{4}