立方体の縦を1cm短くし、横はそのまま、高さを2cm長くして直方体を作る。直方体の体積が元の立方体の体積より大きくならないのは、元の立方体の1辺の長さがどのような範囲にあるときか。

1. 問題の内容

立方体の縦を1cm短くし、横はそのまま、高さを2cm長くして直方体を作る。直方体の体積が元の立方体の体積より大きくならないのは、元の立方体の1辺の長さがどのような範囲にあるときか。

2. 解き方の手順

元の立方体の1辺の長さを $x$ cmとする。

このとき、

- 元の立方体の体積は、$x^3$ cm$^3$

- 直方体の縦は、$x-1$ cm

- 直方体の横は、$x$ cm

- 直方体の高さは、$x+2$ cm

したがって、直方体の体積は$(x-1)x(x+2)$ cm$^3$

直方体の体積が元の立方体の体積より大きくならないという条件から、

$$(x-1)x(x+2) \le x^3$$

この不等式を解く。

$$(x-1)x(x+2) = x(x^2+2x-x-2) = x(x^2+x-2) = x^3+x^2-2x$$

したがって、

$$x^3+x^2-2x \le x^3$$

$$x^2-2x \le 0$$

$$x(x-2) \le 0$$

$0 \le x \le 2$

ただし、$x-1 > 0$より、$x>1$でなければならない。

また、$x$は正の数でなければならないので、$x > 0$

よって、$1 < x \le 2$

3. 最終的な答え

$1 < x \le 2$

元の立方体の1辺の長さは1cmより大きく2cm以下の範囲にある。